高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.3 反证法与放缩法导学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

2.3 反证法与放缩法学习目标1.理解反证法在证明不等式中的应用．2．掌握反证法证明不等式的方法．3．掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式.一、自学释疑根据线上提交 的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。二、合作探究探究 1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？探究 2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？1.反证法对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明．用反证法证明数学命题，实际上是证明逆否命题成立，来代替 证明原命题成立，用反证法证明步骤可概括为“否定结论，推出矛盾”．(1)否定结论：假设命题的结论不成立，即肯定结论的反面成立．(2)推出矛盾：从假设及 已知出发，应用正确的推理，最后得出与定理、性质、已知及事实相矛盾的结论，从而说明假设不成立，故原命题成立． 2．用反证法证明不等式应注意的问题(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．3．放缩法放缩法是证明不等式的一种特殊方法，它利用已知的基本不等式(如均值不等式)，或某些函数的有界性、单调性等适当的放缩以达到证明的目的．放缩是一种重要手段，放缩时应目标明确、放缩适当，目的是化繁为简，应灵活掌握．常见放缩有以下几种类型：第一，直接放缩；第二，裂项放缩(有时添加项)；第三，利用函数的有界性、单调性放缩；第四，利用基本不等式放缩．例如：<＝－，>＝－；>＝2(－)，<＝2(－)．以上 n∈N，且 n>1.【例 1】 若 a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2.【变式训练 1】 若假设 a，b，c，d 都是小于 1 的正数，求证：4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于 1.【例 2】 设 x，y，z 满足 x＋y＋z＝a(a>0)，x2＋y2＋z2＝a2.求证：x，y，z 都不能是负数或大于 a 的数．【变式训练 2】 证明：若函数 f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至多有一个实根．【例 3】 求证：2(－1)<1＋＋…＋<2(n∈N＋)． 【变式训练 3】 设 n∈N＋，求证：≤＋＋…＋<1.【例 4】 已知实数 x，y，z 不全为零，求证：＋＋>(x＋y＋z)． 【变式训练 4】 设 x>0，y>0，x>0，求证：＋>x＋y＋z. 参考答案探究 1．提示：用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，对...