高中数学 第二讲 直线与园的位置关系 一 圆周角定理学案（含解析）新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学学案

一 圆周角定理1．圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．应当注意的是，圆周角与圆心角一定是对着同一条弧，它们才有上面定理中所说的数量关系．2．圆心角定理(1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数，它与圆的半径无关，也就是说在大小不等的两个圆中，相同度数的圆心角，它们所对的弧的度数相等；反过来，弧的度数相等，它们所对的圆心角的度数也相等．(2)圆心角(∠AOB)与它所对的弧( »AB )的度数相等，不能写成∠AOB＝ »AB ，正确写法是∠AOB 的度数＝ »AB 的度数．3．圆周角定理的推论(1)推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(1)若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，则结论不成立．(2)相等的弧与相同度数的弧含义是不同的．只有弧的度数和弧的长度都相等的两条弧才是等弧，即等弧一定有相同的度数，而有相同度数的弧不一定是等弧．(3)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”，应用推论时要时刻记住这一点．(2)推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．与圆周角定理相关的证明 已知：如图，△ABC 内接于⊙O，D，E 在 BC 边上，且 BD＝CE，∠1＝∠2.求证：AB＝AC. 证明此题可先添加辅助线构造等弦、等弧的条件，再由圆周角定理及其推论证明． 如图，延长 AD，AE 分别交⊙O 于 F，G 两点，连接 BF，CG， ∠1＝∠2，∴ ¼BF ＝ »CG ，∴BF＝CG， »BG ＝ »CF ，∴∠FBD＝∠GCE.又 BD＝CE，∴△BFD≌△CGE，∴∠F＝∠G，∴ »AB ＝ ¼AC ，∴AB＝AC.1利用圆周角定理证明等量关系时，主要是分析圆周角、圆心角、弧、弦之间的等量关系，有时需添加辅助线构造等弧、等角、等弦的条件．1．已知 AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆的直径．求证：∠BAE＝∠DAC.证明：连接 BE，因为 AE 为直径，所以∠ABE＝90°.因为 AD 是△ABC 的高，所以∠ADC＝90°.所以∠ADC＝∠ABE.因为∠E＝∠C，∠BAE＝90°－∠E，∠DAC＝90°－∠C.所以∠BAE＝∠DAC.2．已知⊙O 中，AB＝AC，D 是 BC 延长线上一点，AD 交⊙O 于点 E.求证：AB2＝AD·AE.证明：如图， AB＝AC，∴ »AB ＝ ¼AC .∴∠ABD＝∠AEB.在△ABE 与△ADB 中，∠BAE＝∠DAB，∠AEB＝∠ABD，∴△ABE∽△ADB.∴＝，即 AB2＝AD·AE.利用圆周角进行计算 如图，已知 BC 为半⊙O 的直径，AD⊥BC，垂足为 D，B...