第二节 圆内接四边形的性质与判定定理课堂导学三点剖析一、圆内接四边形的性质【例 1】 如图 2-2-1,圆内接四边形 ABCD 中,BA 与 CD 的延长线交于点 P,AC 与 BD 交于 E 点,则图中相似三角形有________________对.( )图 2-2-1A.5 B.4 C.3 D.6解析：4321 △ABE∽△DCE.同理,△ADE∽△BCE.PPABC5 △PAD∽△PCB.PP21 △PBD∽△PCA.答案:B二、四点共圆应用举例【例 2】 如图 2-2-3,AB 为半圆 O 的直径,C、D 为半圆上两点,∠BAC=20°,求∠ADC.图 2-2-3解：连结 BC,AB 是直径 ∠ACB=90° ∠BAC+∠ABC=90° ∠B=90°-∠BAC18070ADCBA ∠ADC=180°-∠B=180°-70°=110°.三、圆内接四边形的判定(四点共圆)【例 3】 如图,梯形 ABCD 是等腰梯形,AD∥BC,求证:A、B、C、D 共圆.图 2-2-5证明:∵梯形 ABCD 是等腰梯形,1∴∠A=∠D.又∵AD∥BC,∴∠C+∠D=180°.∴∠A+∠C=180°.∴A、B、C、D 共圆.温馨提示 证明四点共圆通常证四边形的对角互补或它的一个外角等于它的内角的对角.【例 4】 求证:一个非矩形的平行四边形没有外接圆.图 2-2-7已知:如图 2-2-7,ABCD 不是矩形.求证: ABCD 没有外接圆.证明:假设ABCD 有外接圆.那么∠A+∠C=180°.又∵ABCD 中,∠A=∠C,∴∠A=90°.∴ABCD 是矩形.这与题设相矛盾,假设不正确.∴非矩形平行四边形没有外接圆.各个击破类题演练 1如图 2-2-2,四边形 ABCD 内接于⊙O,∠BOD=110°,那么∠BCD 的度数为( )图 2-2-2A.125° B.110° C.55° D.70°解析:∠A= 21 ∠BOD=55°,∠BCD=180°-∠A=125°.答案:A温馨提示 当遇到圆内接四边形时,应考虑内接四边形的性质定理,它是计算或证明角相等或互补的常用依据之一.类题演练 2如图 2-2-4,△ABC 的外角平分线 AD 交外接圆于 D,求证:DB=DC.2图 2-2-4证明:∵A、B、C、D 共圆,∴∠DAE=∠BCD.又∵=,∴∠DAC=∠DBC.而∠DAE=∠DAC,∴∠DBC=∠DCB.∴DB=DC.类题演练 3如图 2-2-6,已知 A 是的中点,弦 AD、AE 交弦 BC 于 F、G 两点.求证:D、E、F、G 四点共圆.图 2-2-6证明:连结 AB,则∠1=∠2+∠B,∵∠2 度数等于度数一半,∠B 度数等于度数一半,又∵=,∴∠B 度数等于度数一半.∴∠1 度数等于度数一半.而∠E 度数等于度数一半,∴∠1=∠E.∴D、E、F、G 四点共圆.类题演练 4用反证法证明圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.已知:如图 2-2-8,非直径弦 AB、CD 交于点 P.求证:AB、CD 不能相互平分.图 2-2-8证明:假设 AB、CD 互相平分于点 P,连结 OP,则 OP⊥AB,OP⊥CD,这样过 P 有两条直线 AB、CD 同时垂直于 OP,这与过一点有且只有一条直线与已知直径垂直相矛盾,∴AB、CD 不能相互平分.3
