第四节 弦切角的性质课堂导学三点剖析一、弦切角定理【例 1】 如图 2-4-1,PA、PB 切⊙O 于 A、B,∠P=50°,则∠D 等于( )图 2-4-1A.65° B.75° C.40° D.30°思路分析：连结 AB,∠P 与∠D 分别处于两个三角形,它们之间的联系途径就是弦切角.解:连结 AB.∵AB 是弦,PA、PB 切圆于 A、B,∴∠ABP=∠D,∠BAP=∠D.∴∠ABP=∠BAP.在△ABP 中,∠ABP= 21 (180°-∠P)=65°,∴∠D=∠ABP=65°.答案:A二、弦切角定理综合运用【例 2】 如图 2-4-3,PA 切⊙O 于 A,PBC 是⊙O 的割线,在 PC 上截取 PD=PA,求证:∠1=∠2.图 2-4-3证明：∵PA=PD,∴∠PAD=∠PDA.∵∠PDA=∠C+∠1,∠PAD=∠PAB+∠2,∴∠C+∠1=∠PAB+∠2.又∵PA 切⊙O 于 A,AB 为弦,∴∠PAB=∠C.∴∠1=∠2.三、本节数学思想选讲【例 3】 如图 2-4-5,已知 AB 为⊙O 直径,P 为 AB 延长线上一动点,过点 P 作⊙O 的切线,设切点为 C.(1)请你连结 AC,作∠APC 的平分线,交 AC 于点 D,测量∠CDP 的度数.(2)当 P 在 AB 延长线上运动时,∠CDP 的度数作何变化?请你猜想,并证明.图 2-4-51解析:(1)作图,并测量,∠CDP=45°.(2)∠CDP 不随 P 在 AB 延长线上的位置变化而变化,即∠CDP=45°是一个定值.证明:连结 BC 交 PD 于 E,∵∠CDP 是△ADP 的外角,∴∠CDP=∠A+∠2.同理,∠CED=∠1+∠3.但∠1=∠2.又∵BC 是弦,PC 与⊙O 切于 C,∴∠3=∠A.∴∠CDE=∠CED.∴CD=CE.∵AB 是直径,∴∠DCE=90°.∴△CDE 是等腰直角三角形.∴∠CDE=45°.各个击破类题演练 1如图 2-4-2,△ABC 为⊙O 的内接三角形,AB 为直径,D 为 BC 延长线上一点,PC 切⊙O 于 C 点,∠PCD=20°,则∠A 等于( )图 2-4-2A.20° B.25° C.40° D.50°解析:∵AB 是直径,∴∠ACB=90°.∴∠PCD+∠ACP=90°,∠A+∠B=90°.∵PC 是切线,AC 为弦,∴∠ACP=∠B.∴∠A=∠PCD=20°.答案:A类题演练 2如图 2-4-4,AD⊥直径 CE,AB 为⊙O 切线,A 为切点,求证:∠1=∠2.图 2-4-4证明:连结 AE,∵CE 是直径,∴∠CAE=90°.∴∠E+∠ACE=90°.∵AD⊥EC,∴∠ADC=90°.∴∠2+∠ACE=90°.∴∠2=∠E.又∵AB 切⊙O 于 A,AC 是弦,∴∠1=∠E.∴∠1=∠2.2类题演练 3在△AEF 中,∠A 的平分线 AD 与△AEF 的外接圆相交于 D,过 D 作圆的切线 BC.求证:EF∥BC.图 2-4-6解析:欲证 EF∥BC,只需证∠AEF=∠B,∠B 在圆外,考虑弦切角.证明:连结 DF,∵BC 切⊙O 于点 D,DF 为弦,∴∠ADB=∠AFD.∵AD 平分∠A,∴∠1=∠2.∴△ABD∽△ADF.∴∠ADF=∠B.又∵=,∴∠AEF=∠ADF.∴∠AEF=∠B.∴EF∥BC.温馨提示 从本题题设出发,还有很多结论,读者可自行推导.3
