高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 第五节 与圆有关的比例线段课堂导学案 新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学学案

第五节 与圆有关的比例线段课堂导学三点剖析一、用圆幂定理证明 ab=cd+ef 型线段关系式【例 1】 如图 2-6-1,已知⊙O1与⊙O2内切于点 P,⊙O2的弦 AB 切⊙O1于点 C,连结 PA、PB,PC 的延长线交⊙O2于点 D.求证:PC2=PA·PB-AC·BC.图 2-6-1思 路 分 析 : 要 证 结 论 , 考 虑 将 左 边 化 成 右 边 形 式 , 将 PC 变 为 PD-CD, 则 左 边 =PC(PD-CD)=PA·PB-AC·BC=右边,只需分别证明 PC·PD=PA·PB 和 PC·CD=AC·BC 即可.证明：连结 BD,过 P 作两圆的公切线 PM, AB 是⊙O1的切线,∴∠ACP=∠MPC=∠DBP.又 ∠A=∠D,∴△APC∽△DPB.∴PBPCPDPA .∴PD·PC=PA·PB.由相交弦定理,得 PD·CD=AC·CB.∴PD·PC-PC·CD=PA·PB-AC·BC,PC(PD-CD)=PA·PB-AC·BC.∴PC2=PA·PB-AC·BC.二、用圆幂定理证明dcba22型线段关系式【例 2】 如图 2-6-3,已知:△ABC 内接于⊙O,过 A 的切线交 BC 的延长线于 P,若 D 为 AB 的中点,PD 交 AC 于 E,求证:22PCPA=ECAE .图 2-6-3思路分析: PA2=PC·PB,∴22PCPA=PCPBPCPBPC2,则只需证PCPB =ECAE . 证明：过 C 作 CF∥AB 交 PD 于 F,∴ PCPB = CFBD , ECAE = CFAD . BD=AD,∴ PCPB = ECAE .1由切割线定理,得 PA2=PC·PB,∴22PCPA=2PCPBPC =PCPB .∴22PCPA=ECAE .温馨提示(1)在两条线段平方比中的一条线段是切线时,常采用此法——降幂法.所谓降幂法,就是欲证dcba22,先证 a2=be,则bebbeba222,再证dcbe 即可.(2)一条线段的平方常由切割线定理得到,有时还可由射影定理、相似三角形的性质得到.三、用运动变化思想探究问题的结论【例 3】 如图 2-6-5,已知 AB 是⊙O 的直径,AB 垂直于弦 CD,垂足为 M,弦 AE 与 CD 交于 F,写出图中有关线段的关系式.图 2-6-5解析：由相交弦定理AF·FE=CF·DF,①CM·MD=AM·BM.② CM=MD,③∴CM2=AM·BM 或 DM2=AM·BM.④连结 BD,则∠ADB=90°.由射影定理 AD2=AM·AB.⑤连结 DE, =,∴∠ADF=∠AED. ∠DAF=∠EAD,∴△ADF∽△AED.∴ AEAD = ADAF .∴AD2=AE·AF.⑥由⑤⑥得 AM·AB=AE·AF.⑦各个击破类题演练 1如图 2-6-2,⊙O1、⊙O2相交于 A、B 两点,过 A 作⊙O2的切线交⊙O1于 C,直线 CB 交⊙O2于 D,直线 DA 交⊙O1于 E.求证:(1)CE=CA;(2)CE2+DA·DE=CD2.2图 2-6-2证明:(1)连结 AB, ∠3=∠2,∠2=∠E,∴∠3=∠E. ∠3=∠1,∴∠1=∠E.∴...