高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 第一节 圆周角定理课堂导学案 新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学学案

第一节 圆周角定理课堂导学三点剖析一、圆周角定理、圆心角定理及其推论【例 1】 在⊙O 中,∠A=α,则∠OBC 等于( )图 2-1-1A.2α B.90°-α C.180°-2α D.90°+α解法一：连结 OC,则∠BOC=2∠A=2α,在△OBC 中, OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.∴∠OBC= 21 (180°-∠BOC)= 21 (180°-2α)=90°-α.解法二:延长 BO 交⊙O 于点 D,连结 CD. ∠BCD=90°,∠D=∠A=α,在 Rt△BCD 中,∠OBC=90°-∠D=90°-α.解法三:延长 BO 交⊙O 于点 D, ∠BOC=2∠A=2α,∴∠COD=180°-2α.∴∠OBC= 21 ∠COD= 21 （180°-2α)=90°-α.解法四:延长 BO 到 D,连结 CD,则的度数为 180°. ∠A=α,∴的度数为 2α.∴的度数等于减去的度数,即的度数为 180°-2α.又 ∠OBC 的度数等于度数的一半,∴∠OBC= 21 (180°-2α)=90°-α.答案:B温馨提示 圆周角、圆心角、弧之间以统一的单位:度为桥梁,相互转化,融会贯通.二、利用圆周角、圆心角证明和计算1【例 2】 已知△ABC 中,AB=AC,E 为 AB 上一点,且 AE= 31 AB,以 AB 为直径作半圆交 BC 于 D,连结AD、CE 交于 F 点.求证:AF=FD.图 2-1-4证明：作 DH∥CE,交 AB 于 H, AB 为直径,∴AD⊥BC.又 AB=AC,∴CD=BD.∴BH=EH.又 AE= 31 AB,∴AE=EH.又 EF∥DH,∴AF=FD.温馨提示 本题在证明中利用了本节推论 2,在圆中与直径有关的题目,经常利用该结论,转化为直角三角形或等腰三角形去解决.【例 3】 如图 2-1-6,在△ABC 中,AD⊥BC 于 D,DF⊥AC 于 F,DE⊥AB 于 E.求证:(1)AP·DP=EP·FP;(2)△AEF∽△ACB.图 2-1-6思路分析：欲证 AP·DP=EP·FP,只需证△APE∽△FPD,只需证∠1=∠2.证明:(1) DE⊥AB,DF⊥AC,∴E、F 在以 AD 为直径的圆上. =,∴∠1=∠2.∴△APE∽△FPD.∴DPFPPEAP .∴AP·DP=EP·FP.(2) ∠C+∠CAD=90°,∠2+∠CAD=90°,∴∠2=∠C.又 ∠1=∠2,∴∠1=∠C.∴△AEF∽△ACB.各个击破类题演练 1如图 2-1-2,在⊙O 中,∠ABO=55°,则∠ACB 等于( )2图 2-1-2A.35° B.45° C.50° D.60°解析:连结 OA, OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.∴∠AOB=180°-∠ABO-∠BAO=70°.又 ∠ACB= 21 ＜0,∴∠ACB= 21 ×70°=35°.答案:A变式提升 1如图 2-1-3, =,在上任取一点 P,PB、PC 与 AD 的交点分别为 E、F,则图中相似三角形的组数是( )图 2-1-3A.2 B.3 C.4 D.6解: ,∴∠B=∠PDE.又∠AEB=∠PED,∴△ABE∽△PED.同理,△APF∽△CDF. =,∴∠AP...