高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 二 圆内接四边形的性质及判定定理创新应用教学案 新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学教学案

二 圆内接四边形的性质及判定定理[对应学生用书 P21]1．圆内接四边形的性质(1)圆的内接四边形对角互补．如图：四边形 ABCD 内接于⊙O，则有：∠A＋∠ C ＝180°，∠B＋∠ D ＝180°.(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．如图：∠CBE 是圆内接四边形ABCD 的一外角，则有：∠CBE＝∠ D .2．圆内接四边形的判定(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．[对应学生用书 P21]圆内接四边形的性质[例 1] 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 BD，CA 的延长线相交于点E，EF 垂直 BA 的延长线于点 F.求证：∠DEA＝∠DFA.[思路点拨] 本题主要考查圆内接四边形判定及性质的应用．解题时，只需证 A，D，E，F 四点共圆后可得结论．[ 证 明 ] 连 接 AD. 因 为 AB 为 圆 的 直 径 ， 所 以 ∠ ADB ＝ 90°. 又EF⊥AB，∠EFA＝90°，所以 A，D，E，F 四点共圆．所以∠DEA ＝∠DFA.圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角，可用来作为三角形相似的条件，从而证明一些比例式的成立或证明某些等量关系．1．圆内接四边形 ABCD 中，已知∠A，∠B，∠C 的度数比为 4∶3∶5，求四边形各角的度数．解：设∠A，∠B，∠C 的度数分别为 4x,3x,5x，则由∠A＋∠C＝180°，可得 4x＋5x＝180°.∴x＝20°.∴∠A＝4×20°＝80°，∠B＝3×20°＝60°，∠C＝5×20°＝100°，∠D＝180°－∠B＝120°.2．已知：如图，四边形 ABCD 内接于圆，延长 AD，BC 相交于点E，点 F 是 BD 的延长线上的点，且 DE 平分∠CDF.(1)求证：AB＝AC；(2)若 AC＝3 cm，AD＝2 cm，求 DE 的长．解：(1)证明： ∠ABC＝∠2，∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3，∴∠ABC＝∠4.∴AB＝AC.(2) ∠3＝∠4＝∠ABC，∠DAB＝∠BAE，∴△ABD∽△AEB.∴＝. AB＝AC＝3，AD＝2，∴AE＝＝.∴DE＝－2＝(cm).圆内接四边形的判定[例 2] 如图，在△ABC 中，E，D，F 分别为 AB，BC，AC 的中点，且 AP⊥BC 于 P.求证：E，D，P，F 四点共圆．[思路点拨] 可先连接 PF，构造四边形 EDPF 的外角∠FPC，证明∠FPC＝∠C，再证明∠FPC＝∠FED 即可．[证明] 如图，连接 PF， AP⊥BC，F 为 AC 的中点，∴PF＝AC. FC＝AC，∴PF＝FC.∴∠FPC＝∠C. E、F、D 分别为 AB，AC，BC 的中点．∴EF∥CD，ED∥FC.∴四边形...