高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 第2节 综合法与分析法创新应用教学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学教学案

第 2 节 综合法与分析法创新应用[核心必知]1．综合法一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，又叫顺推证法或由因导果法．2．分析法证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法．[问题思考]1．如何理解分析法寻找的是充分条件？提示：用分析法证题时 ， 语气总是假定的 ， 常用“欲证 A 只需证 B ” 表示 ， 说明只要 B 成立 ， 就一定有 A 成立 ， 所以 B 必须是 A 的充分条件才行 ， 当然 B 是 A 的充要条件也可 ．2．用综合法和分析法证明不等式有怎样的逻辑关系？提示：综合法：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(逐步推演不等式成立的必要条件)，即由条件出发推导出所要证明的不等式成立．分析法： B ⇐ B 1⇐ B 2⇐ … ⇐ B n⇐ A ( 步步寻求不等式成立的充分条件 ) ，总之 ， 综合法与分析法是对立统一的两种方法 ． 已知 a，b，c∈R＋，且互不相等，又 abc＝1.求证：＋＋<＋＋.[精讲详析] 本题考查用综合法证明不等式，解答本题可从左到右证明，也可从右到左证明．由左端到右端，应注意左、右两端的差异，这种差异正是我们思考的方向．左端含有根号，脱去根号可通过＝<实现；也可以由右到左证明，按上述思路逆向证明即可．法一： a，b，c 是不等正数，且 abc＝1，∴＋＋＝＋＋＜＋＋＝＋＋.法二： a，b，c 是不等正数，且 abc＝1，∴＋＋＝bc＋ca＋ab＝＋＋＞ ＋＋＝＋＋(1)用综合法证明不等式时，主要利用基本不等式，函数的单调性以及不等式的性质等知识，在严密的演绎推理下推导出结论．(2)综合法证明不等式中所依赖的已知不等式主要是重要不等式，其中常用的有如下几个：① a2≥0(a∈R②(a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形有：a2＋b2≥2ab，≥ab.a2＋b2≥(a＋b)2.③ 若 a，b 为正实数，≥.特别＋≥2.④a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.1．已知 x，y，z 均为正数．求证：＋＋≥＋＋.证明：因为 x，y，z 均为正数．所以＋＝(＋)≥，同理可得＋≥，＋≥，当且仅当 x＝y＝z 时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以 2，得＋＋≥＋＋. a，b∈R＋，且 2c>a＋b.求证：c－