高中数学 第四章 导数应用 4.1 函数的单调性与极值 4.1.2 函数的极值导学案 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学学案

4.1.2 函数的极值学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.知识点一 函数极值的概念函数 y＝f(x)的图像如图所示.思考 1 函数在点 x＝a 的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？答案 函数在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近的其他点的函数值都小.思考 2 f′(a)为多少？在点 x＝a 附近，函数的导数的符号有什么规律？答案 f′(a)＝0，在点 x＝a 附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0.思考 3 函数在 x＝b 点处的情况呢？答案 函数在点 x＝b 的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，且在点 x＝b 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0.梳理 (1)如图 1，在包含 x0的一个区间(a，b)内，函数 y＝f(x)在任何一点的函数值都小于或等于 x0点的函数值，称点 x0为函数 y＝f(x)的极大值点，其函数值 f(x0)为函数的极大值.(2)如图 2，在包含 x0的一个区间(a，b)内，函数 y＝f(x)在任何一点的函数值都大于或等于 x0点的函数值，称点 x0为函数 y＝f(x)的极小值点，其函数值 f(x0)为函数的极小值.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.知识点二 求函数 y＝f(x)的极值的步骤1.求出导数 f′(x).2.解方程 f′(x)＝0.3.对于方程 f′(x)＝0 的每一个解 x0，分析 f′(x)在 x0左、右两侧的符号(即 f(x)的单调性)，确定极值点：(1)若 f′(x)在 x0两侧的符号为“左正右负”，则 x0为极大值点；(2)若 f′(x)在 x0两侧的符号为“左负右正”，则 x0为极小值点；1(3)若 f′(x)在 x0两侧的符号相同，则 x0不是极值点.类型一 判断与求解极值(点)例 1 判断下列函数有无极值，如果有极值，请求出极值；如果无极值，请说明理由.(1)f(x)＝x3＋4；(2)f(x)＝x3＋x2＋4x.解 (1)f′(x)＝x2.令 f′(x)＝0，解得 x＝0.当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，＋∞)f′(x)＋0＋f(x)↗无极值↗由上表可知，该函数无极值.(2)因为 f′(x)＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3>0，所以函数 f(x)在 R 上为增函数，无极值.反思与感悟 (1)导数值为 0 的点不一定是函数的极值点，函数在某点的导数值为 0 是取得极值的必要条件，而不是充分条件.(2)求可导函数 f(x)的极值的步骤① 确定函数的定义域，求导数 f′(x)；② 求...