第 3 节 反证法与放缩法创新应用[核心必知]1．反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．2．放缩法证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．我们把这种方法称为放缩法．[问题思考]1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？提示：用反证法证明不等式要把握三点：(1) 必须先否定结论 ， 对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证 ， 缺少任何一种可能 ， 证明都是不完全的．(2) 反证法必须从否定结论进行推理 ， 且必须根据这一条件进行论证 ；否则 ，仅否定结 论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3) 推导出来的矛盾可以是多种多样的 ， 有的与已知条件相矛盾 ， 有的与假设相矛盾 ， 有的与定理、公理相违背 ， 有的与已知的事实相矛盾等 ， 但推导出的矛盾必须是明显的 ．2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大 ( 或缩小 ) 要适当．如果所要证明的不等式 中含有分式 ， 那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小 ；反之 ， 如果把分母缩小 ， 则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放大 ， 这时应该注意不等式的变化情况 ， 可以与相应的函数相联系 ， 以达到判断大小的目的 ， 这 些都是我们在证明中的常用方法与技巧 ， 也是放缩法中的主要形式 ． 设 a，b，c，d 都是小于 1 的正数，求证：4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于 1.[精讲详析] 本题考查反证法的应用．解答本题若采用直接法证明将非常困难，因此可考虑采用反证法从反面入手解决．假设 4a(1－b)＞1，4b(1－c)＞1，4c(1－d)＞1，4d(1－a)＞1，则有 a(1－b)＞，b(1－c)＞，c(1－d)＞，d(1－a)＞.∴＞，＞，＞，＞.又 ≤，≤，≤，≤，∴＞，＞，＞，＞.将上面各式相加得 2＞2，矛盾．∴4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于 1.(1)当证明的结论中含有“不是”，“不都”，“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体．(2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式：①与已知相矛盾，②与假设矛盾，③...
