高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 二 圆内接四边形的性质与判定定理成长学案 新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学学案

二 圆内接四边形的性质与判定定理主动成长夯基达标1.已知四边形 ABCD 是圆内接四边形,下列结论中正确的有（ ）① 如果∠A＝∠C,则∠A＝90°②如果∠A＝∠B,则四边形 ABCD 是等腰梯形 ③∠A 的外角与∠C 的外角互补④∠A∶∠B∶∠C∶∠D 可以是 1∶2∶3∶4A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个思路解析:由“圆内接四边形的对角互补”可知:① 相等且互补的两角必为直角;② 两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D 的特例);③ 互补两内角的外角也互补;④两组对角之和的份额相等(这里 1＋3≠2＋4).因此得出①③正确,②④ 错误.答案:B2.圆内接平行四边形一定是（ ）A.正方形B.菱形C.等腰梯形D.矩形思路解析:由于圆内接四边形对角互补,平行四边形的对角相等,所以圆内接平行四边形的各角均为直角,故为矩形.答案:D3.如图 2-2-6 所示,AB、CD 都是圆的弦,且 AB∥CD,F 为圆上一点,延长 FD、AB 交于点 E.求证:AE·AC＝AF·DE.图 2-2-6思路分析:连结 BD,则 BD＝AC,即证 AE·BD＝AF·DE.证明:连结 BD, AB∥CD,∴BD＝AC. A、B、D、F 四点共圆,∴∠EBD=∠F. ∠E 为△EBD 和△EFA 的公共角,∴△EBD∽△EFA.∴ AEDE = AFBD .∴ AEDE = AFAC ,即 AE·AC＝AF·DE.4.如图 2-2-7 所示,在△ABC 中,AB =AC,延长 CA 到 P,再延长 AB 到 Q,使得 AP =BQ.求证:△ABC 的外心 O 与 A、P、Q 四点共圆.1图 2-2-7思路分析:要证 O、A、P、Q 四点共圆,只需证∠CPO =∠AQO 即可.为此,只要证△CPO≌△AQO即可.证明:连结 OA、OC、OP、OQ.在△OCP 和△OAQ 中,OC =OA,由已知 CA =AB,AP =BQ,∴CP =AQ.又 O 是△ABC 的外心,∴∠OCP =∠OAC.由于等腰三角形的外心在顶角平分线上,∴∠OAC =∠OAQ,从而∠OCP =∠OAQ.∴△OCP≌△OAQ.∴∠CPO =∠AQO.∴O、A、P、Q 四点共圆.5.如图 2-2-8,在等腰三角形 ABC 中,AB =AC,D 是 AC 中点,DE 平分∠ADB,交 AB 于 E,过 A、D、E的圆交 BD 于 N.求证:BN =2AE.图 2-2-8思路分析:要证 BN =2AE,由已知有 AB=AC =2AD,所以只需证 AEBN =2ADAB.而又因为 AE =NE,所以只需证 NEBN = ADAB ,这可由△BNE∽△BAD 证得.证明:连结 EN, 四边形 AEND 是圆内接四边形,∴∠BNE =∠A.又 ∠ABD =∠EBN,∴△BNE∽△BAD.∴ ENBN = ADAB . AB =AC,AC...