二 圆内接四边形的性质与判定定理互动课堂重难突破 一、圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的性质定理包括两个:定理 1 是圆的内接四边形对角互补;定理 2 是圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角.这两个定理表述形式稍有差别,但反映的本质相同,都反映了圆内接四边形所具有的特征.利用这两个定理,可以借助圆变换角的位置,得到角的相等关系或互补关系,再进行其他的计算或证明.利用这两个定理可以得出一些重要结论,如内接于圆的平行四边形是矩形;内接于圆的菱形是正方形;内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推理过程.二、圆内接四边形的判定定理1.定理:如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形内接于圆.2.符号语言表述:在四边形 ABCD 中,如果∠B+∠D=180°,那么四边形 ABCD 内接于圆.3.证明思路:要证明四边形 ABCD 内接于圆,就是要证明 A、B、C、D 四点在同一个圆上.根据我们的经验,若能证明这四个点到一个定点距离相等即可.但是这个定点一时还找不出来.不过对于不在同一条直线上的三点来说,总可以确定一个圆.因此我们可以先经过 A、B、C、D中的任意三个点,譬如过 A、B、C 三点作一个圆,再证明第四个点 D 也在这个圆上就可以了.但是直接证明点 D 在圆上很困难,所以我们采用反证法证明.也就是假设点 D 不在圆上,经过推理论证,得出错误的结论,这就说明点 D 不在圆上是错误的,因此点 D 只能在圆上.图 2-2-1 由于点 D 不在圆上时,可能出现点 D 在圆外和点 D 在圆内两种情况,所以应分别加以证明,下面先讨论点 D 在圆内的情况.假设点 D 在圆内,若作出对角线 BD,延长 BD 和圆交于 D′,连结 AD′、CD′,则 ABCD′为圆内接四边形(如图 221),则∠ABC+∠AD′C=180°.另一方面,因为∠ADB、∠BDC 分别是△AD′D 和△CD′D 的外角,所以有∠AD′B<∠ADB,∠BD′C<∠BDC, 于 是 有 ∠ AD′C<∠ADC. 因 为 已 知 ∠ ABC+∠ADC=180°, 所 以 ∠ ABC ＋ ∠ AD′C<180°,这与圆内接四边形的性质定理矛盾.因此可证点 D 不能在圆内.用类似的方法也可以证明点 D 也不能在圆外.因此点 D 在圆上,即四边形 ABCD 内接于圆.三、判定四点共圆的方法(1)如果四个点与一定点距离相等,那么这四个点共圆.(2)如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四边形的四个顶点共圆...
