高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 二 综合法与分析法学案（含解析）新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

二 综合法与分析法1．综合法(1)定义从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫顺推证法或由因导果法．(2)证明的框图表示用 P 表示已知条件或已有的不等式，用 Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为→→→…→2．分析法(1)定义证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法．(2)证明过程的框图表示用 Q 表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为→→→…→用综合法证明不等式 已知 x>0，y>0，且 x＋y＝1，求证：·≥9. 可将所证不等式左边展开，运用已知和基本不等式可得证，也可以用 x＋y 取代“1”，化简左边，然后再用基本不等式． 法一： x>0，y>0，∴1＝x＋y≥2.∴xy≤.∴＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋≥1＋8＝9.当且仅当 x＝y＝时，等号成立．法二： x＋y＝1，x>0，y>0，∴＝＝＝5＋2≥5＋2×2＝9.当且仅当 x＝y＝时， 等号成立．综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．11．已知 a，b，c∈R＋，证明不明式：a＋b＋c≥＋＋，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．证明：因为 a>0，b>0，c>0，故有a＋b≥2，当且仅当 a＝b 时，等号成立；b＋c≥2，当且仅当 b＝c 时，等号成立；c＋a≥2，当且仅当 c＝a 时，等号成立．三式相加，得 a＋b＋c≥＋＋.当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．2．已知 a，b，c 都是实数，求证：a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.证明： a，b，c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.将以上三个不等式相加，得2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，①即 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.②在不等式①的两边同时加上“a2＋b2＋c2”，得3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，即 a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2.③在不等式②的两端同时加上 2(ab＋bc＋ca)，得(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca)，即(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.④由③④，得 a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.用分析法证明不等式 已知 x>0，y>0，求证：(x2＋y2)>(x3＋y3). 不等式两边是根式，可等价变形后再证明．分析每一步成立的充分条件． 要...