三 反证法与放缩法 对应学生用书 P241．反证法(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，从此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立．2．放缩法(1)放缩法证明的定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．(2)放缩法的理论依据有：① 不等式的传递性；② 等量加不等量为不等量；③ 同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较． 对应学生用书 P24利用反证法证明不等式[例 1] 已知 f(x)＝x2＋px＋q.求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；(2)|f(1)|，f|(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.[思路点拨] “不小于”的反面是“小于”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”．[证明] (1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2.而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2 矛盾，∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”，“至少”，“不能”等词语的不等式．(2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用．1．实数 a，b，c 不全为 0 的等价条件为( )A．a，b，c 均不为 0B．a，b，c 中至多有一个为 0C．a，b，c 中至少有一个为 0D．a，b，c 中至少有一个不为 0解析：“不全为 0”是对“全为 0”的否定，与其等价的是“至少有一个不为 0”．答案：D2．证明：三个互不相等的正数 a，b，c 成等差数列，则 a，b，c 不可能成等比数列．证明：假设 a，b，c 成等比数列，则 b2＝ac.又 a，b，c 成等差数列∴a＝b－d，c＝b＋d(其中 d 公差)．∴ac＝b2＝(b－d)(b＋d)．∴b2＝b2－d2.∴d2＝0，∴d＝0.这与已知中 a，b，c 互不相等矛盾．∴假设不成立．∴a，b，c 不可能成等比数列．3．已知函数 y＝f(x)在 R 上是增函数，且 f(a)＋f(－b)
