二 圆内接四边形的性质与判定定理预习导航课程目标学习脉络1．了解圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质定理及其应用．2．理解圆内接四边形的判定定理及其推论，并能解决有关问题．3．了解反证法在证明问题中的应用.1．性质定理 1文字语言圆的内接四边形的对角互补符号语言若四边形 ABCD 内接于圆 O，则有∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°图形语言作用证明两个角互补2．性质定理 2文字语言圆内接四边形的外角等于它的内角的对角符号语言四边形 ABCD 内接于⊙O，E 为 AB 延长线上一点，则有∠CBE＝∠ ADC 图形语言作用证明两个角相等总结 (1)利用这两个性质定理，可以借助圆变换角的位置，得到角的相等关系或互补关系，再进行其他的计算或证明．(2)利用这两个定理可以得出一些重要结论，如内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形等．3．圆内接四边形判定定理文字语言如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆符号语言在四边形 ABCD 中，如果∠B＋∠D＝180°(或∠A＋∠C＝180°)，那么 A，B，C，D四点共圆1图形语言作用证明四点共圆4．推论文字语言如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆符号语言在四边形 ABCD 中，延长 AB 到 E，若∠CBE＝∠ ADC ，则 A，B，C，D 四点共圆图形语言作用证明四点共圆归纳总结 性质定理 1 和判定定理互为逆定理，性质定理 2 和判定定理的推论互为逆定理．思考 1 圆内接四边形判定定理的证明思路是什么？提示：要证明四边形 ABCD 内接于圆，就是要证明 A，B，C，D 四点在同一个圆上．根据我们的经验，若能证明这四个点到一个定点的距离相等即可．但是这个定点一时还找不出来．不过，对于不在同一条直线上的三点来说，总可以确定一个圆．因此我们可以先经过 A，B，C，D中的任意三个点，譬如 A，B，C 三点作一个圆，再证明第四个点 D 也在这个圆上就可以了．但是直接证明点 D 在圆上很困难，所以我们采用反证法证明，也就是假设点 D 不在圆上，经过推理论证，得出错误的结论，这就说明点 D 不在圆上是错误的，因此点 D 只能在圆上．由于点 D 不在圆上时，可能出现点 D 在圆外和点 D 在圆内两种情况，所以应分别加以证明，下面先讨论点 D 在圆内的情况．假设点 D 在圆内，若作出对角线 BD，设 BD 和圆交于点 D′.连接 AD′，CD′，则 ABCD′为圆内接四...
