第四章 导数应用1 利用导数研究函数单调性常见题型1．运用导数求函数的单调区间利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数 f′(x)；(3)在定义域内解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0，得单调区间．例 1 求函数 f(x)＝x(ex－1)－x2的单调区间．解 由已知，得当 f′(x)＝(ex－1)(x＋1)＝0 时，有 x＝0 或 x＝－1.当 x<－1 时，f′(x)>0；当－10 时，f′(x)>0.故 f(x)的递增区间是(－∞，－1)，(0，＋∞)，递减区间是(－1,0)．点评 单调区间开闭不扣分，但定义域不取的数一定不能取；断开的单调区间一般不合写，也不用“∪”连接，中间用“，”或“和”连接．例 2 已知函数 f(x)＝x2＋3x－2ln x，则函数 f(x)的单调递减区间为________．分析 先求函数 f(x)的定义域和导数，再结合定义域解 f′(x)<0 即可．解析 函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x＋3－.令 f′(x)<0，即 2x＋3－＝<0，结合定义域知 x>0，且 2x2＋3x－2<0，解得 01 时，ln x>－.分析 可构造函数 f(x)＝ln x－(－)，由于 f(1)＝0，故若能证明 f(x)为(1，＋∞)上的增函数，即证明在(1，＋∞)上，导函数 f′(x)>0 恒成立即可．证明 令 f(x)＝ln x－(－)，则有 f(1)＝0.因为 f′(x)＝＋x＝>0，x∈(1，＋∞)，所以函数 f(x)为(1，＋∞)上的增函数，又 f(1)＝0，所以当 x∈(1，＋∞)时，f(x)>0 恒成立，即 ln x>－.点 评 证 明 不 等 式 f(x)>g(x) ， x∈(a ， b) 的 一 般 方 法 ： 构 造 函 数 F(x) ＝ f(x) －g(x)，x∈(a，b)，分析 F(x)在区间(a，b)上的单调性及最小值与 0 的大小，进而说明 F(x)>0 在(a，b)内恒成立即可．3．求参数的取值范围例 4 已知函数 f(x)＝x3－ax2＋1.(1)若函数 f(x)的单调递减区间是(0,2)，求实数 a 的值；(2)若函数 f(x)在区间(0,2)上是减少的，求实数 a 的取值范围．分析 注意正确区分“在某区间单调”和“单调区间”的概念，避免混淆．1解 (1)由 f(x)的单调递减区间为(0,2)可知 0 与 2 是方程 f′(x)＝3x2－2ax＝0 的两根，故有 3×22－2a×2＝0，解得 a＝3.(2)因为函数 f(x)在区间(0,2)上...
