高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 一 比较法同步配套教学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学教学案VIP专享

一 比_较_法 对应学生用书 P181．作差比较法(1)作差比较法的理论依据 a－b>0⇔a > b ，a－b<0⇔a < b ，a－b＝0⇔a ＝ b .(2)作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理，③判定符号，④得出结论．其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定差的符号，常用的手段有：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等．2．作商比较法(1)作商比较法的理论依据是不等式的基本性质：①b>0，若>1，则 a>b；若<1 则 a1 则 ab.(2)作商比较法解题的一般步骤：①判定 a，b 符号；②作商；③变形整理；④判定与1 大小关系 ；⑤得出结论． 对应学生用书 P18作差比较法证明不等式[例 1] 已知正数 a，b，c 成等比数列．求证：a2－b2＋c2≥(a－b＋c)2.[思路点拨] 作差→变形→判定符号→结论证明：因为正数 a，b，c 成等比数列，所以 b2＝ac，b＝，(a2－b2＋c2)－(a－b＋c)2＝a2－b2＋c2－a2－b2－c2＋2ab－2ac＋2bc＝2ab－4b2＋2bc＝2b(a－2b＋c)＝2b(－)2≥0.所以 a2－b2＋c2≥(a－b＋c)2.(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．1．求证：a2＋b2≥2(a－b－1)．证明：a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)．2．已知 a，b∈R＋，n∈N＋，求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．证明： (a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)＝an＋1＋abn＋ban＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1＝a(bn－an)＋b(an－bn)＝(a－b)(bn－an)．(1)若 a>b>0 时，bn－an<0，a－b＞0，∴(a－b)(bn－an)<0.(2)若 b>a>0 时，bn－an>0，a－b<0.∴(a－b)(bn－an)<0.(3)若 a＝b>0 时，(bn－an)(a－b)＝0.综上(1)(2)(3)可知，对于 a，b∈R＋，n∈N＋，都有(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1).作商比较法证明不等式[例 2] 设 a>0，b>0，求证：aabb≥(ab).[思路点拨] 不等式两端都是指数式，它们的值均为正数，可考虑用求商比较法．[证明] aabb>0，(ab) >0，∴＝a·b＝.当 a...