高中数学第二讲证明不等式的基本方法一比较法学案新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

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一比较法 1.理解和掌握比较法证明不等式的理论依据． 2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．3．通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．比较法的定义比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种．(1)作差比较法：要证明 a>b，只要证明 a － b >0 ；要证明 a0，b>0，要证明 a>b，只要证明>1；要证明 b>a，只要证明>1.这种证明不等式的方法，叫做作商比较法．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在证明条件不等式时，要注意所给条件的应用．( )(2)作差比较法是与 1 比较，作商比较法是与 0 比较．( )(3)因式分解、配方、放缩(基本不等式，有界性)，凑成若干个平方和等是作差比较的常用变形方法．( )(4)分子放(缩)，分母不变；分子不变，分母放(缩)；分子放(缩)，同时分母缩(放)，是作商比较时常用的方法．( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√2．设 a≠b，则 a2＋3b2和 2b(a＋b)的大小关系是( )A．a2＋3b2>2b(a＋b) B．a2＋3b2≥2b(a＋b)C．a2＋3b2<2b(a＋b) D．a2＋3b2≤2b(a＋b)解析：选 A.(a2＋3b2)－2b(a＋b)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2，因为 a≠b，所以(a－b)2>0，1所以 a2＋3b2>2b(a＋b)．3．设 a∈R，a≠1，则与 1 的大小关系是( )A．>1 B．<1C．≥1 D．≤1答案：B 作差比较法[学生用书 P25] 已知 b0，a2＋b2>0，a＋b<0，又因为 b0，所以<0.所以－<0.即<.作差比较法证明不等式的技巧(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断差式的符号，常将差式变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的差式是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号． 1.若 a>b>c，求证 bc2＋ca2＋ab2b>c，所以 b－a<0，c－a<0，c－b<0，所以(b－a)(c－a)(c－b)<0，所以 bc2＋ca2＋ab2

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