一 比较法1．作差比较法(1)作差比较法的理论依据 a－b>0⇔a > b ，a－b<0⇔a < b ，a－b＝0⇔a ＝ b .(2)作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理，③判定符号，④得出结论．其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定差与 0 的大小 ，常用的手段有因式分解、配方、通分、分子或分母有理化等．2．作商比较法(1)作商比较法的理论依据是不等式的基本性质：①b>0，若>1，则 a>b；若<1，则 a1，则 ab.(2)作商比较法解题的一般步骤：①判定 a，b 的符号；②作商；③变形整理；④判定与 1 的大小关系；⑤得出结论．作差比较法证明不等式 设△ABC 的三边长分别是 a，b，c，求证：4(ab＋bc＋ac)>(a＋b＋c)2. 作差法证明，注意条件“在同一个三角形中，任意两边之和大于第三边”的应用． a，b，c 是△ABC 的三边长，∴a>0，b>0，c>0，且 b＋c－a>0，c＋a－b>0，a＋b－c>0.∴4(ab＋bc＋ac)－(a＋b＋c)2＝2(ab＋bc＋ac)－(a2＋b2＋c2)＝(b＋c－a)a＋(c＋a－b)b＋(a＋b－c)c>0.∴4(ab＋bc＋ac)>(a＋b＋c)2.(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．1．求证：a2＋b2≥2(a－b－1)．证明：a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)．2．已知 a，b∈R＋，n∈N＋，求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．证明： (a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)＝an＋1＋abn＋ban＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1＝a(bn－an)＋b(an－bn)＝(a－b)(bn－an)．① 若 a>b>0 时，bn－an<0，a－b＞0，∴(a－b)(bn－an)<0.1② 若 b>a>0 时，bn－an>0，a－b<0.∴(a－b)(bn－an)<0.③ 若 a＝b>0 时，(bn－an)(a－b)＝0.综上所述，对于 a，b∈R＋，n∈N*，都有(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．作商比较法证明不等式 设 a>0，b>0，求证：aabb≥(ab). 不等式两端都是指数式，它们的值均为正数，可考虑用求商比较法． aabb>0，(ab)>0，∴＝a·b＝.当 a＝b 时，...
