高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法单元整合学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

第二讲 证明不等式的基本方法单元整合知识网络专题探究专题一 比较法比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件．作差比较法证明的一般步骤是：①作差；②恒等变形；③判断结果的符号；④下结论．其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．设 a≠b，求证：a2＋3b2＞2b(a＋b)．提示：用作差比较法证明．作差比较法的步骤是：①作差；②变形；③判断差与 0 的大小关系；④下结论，其中最关键的步骤是②③.证明：(a2＋3b2)－2b(a＋b)＝a2＋3b2－2ab－2b2＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.因为 a≠b，所以 a－b≠0.从而(a－b)2＞0，于是(a2＋3b2)－2b(a＋b)＞0.所以 a2＋3b2＞2b(a＋b)．若 a＝，b＝，c＝，则( )A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．b＜a＜c提示：作商比较法的步骤是：①作商；②变形；③判断商与 1 的大小关系；④下结论．其中②③是关键步骤，同时要注意分子、分母的正负．解析： ＝＝log89＞1，且 a＞0，b＞0，∴b＞a.又 ＝＝log2532＞1，且 a＞0，c＞0，∴a＞c.∴c＜a＜b.答案：C专题二 综合法综合法证明不等式的依据：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论．证明时要注意：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握．综合法证明不等式的思维方面是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立．已知 a，b，c 为△ABC 的三条边，求证：1a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca)提示：应用余弦定理解决．证明：设 a，b 两边的夹角为 θ，则由余弦定理，得：cos θ＝因为 0＜θ＜π，∴cos θ＜1，∴＜1，即 a2＋b2－c2＜2ab.同理可证：b2＋c2－a2＜2bc，c2＋a2－b2＜2ac，将上面三个同向不等式相加，即得：a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca)专题三 分析法分析法证明不等式的依据：不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆求”(但绝不是逆推)，即由待证的不等式出发，逐步逆求使其成立的充分条件(执果索因)，最后得到充分条件是已知(或已证)的不等式...