高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法复习课学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

第二讲 证明不等式的基本方法复 习 课 [整合·网络构建] [警示·易错提醒]1．比较法的一个易错点．忽略讨论导致错误，当作差所得的结果“正负不明”时，应注意分类讨论．2．分析法和综合法的易错点．对证明方法不理解导致证明错误，在不等式的证明过程中，常因对分析法与综合法的证明思想不理解而导致错误．3．反证法与放缩法的注意点．(1)反证法中对结论否定不全．(2)应用放缩法时放缩不恰当．专题一 比较法证明不等式比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，主要有作差比较法和作商比较法，含根号时常采用比平方差或立方差．基本步骤是作差(商)—变形—判断—结论，关键是变形变形的目的是判号(与 1 的大小关系)，变形的方法主要有配方法、因式分解法等． [例❶] 若 x，y，z∈R，a＞0，b＞0，c＞0.求证：x2＋y2＋z2≥2(xy＋yz＋zx)．证明：因为 x2＋y2＋z2－2(xy＋yz＋zx)＝＋＋＝＋＋≥0，所以 x2＋y2＋z2≥2(xy＋yz＋zx)成立．归纳升华作差法证明不等式的关键是变形，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法． [变式训练] 已知 a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.证明：法一 因为 a2＋b2－ab－a－b＋1＝[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，所以 a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.法二 a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－(b＋1)a＋b2－b＋1，对于 a 的二次三项式，Δ＝(b＋1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0，所以 a2－(b＋1)a＋b2－b＋1≥0，故 a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.专题二 综合法证明不等式综合法证明不等式的思维方式是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立．证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误．[例 2] 设 a，b，c 均为正数，且 a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥1.证明：因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，则＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.归纳升华综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A 为已知条件或数学定义、定理、公理，B 为要证的结论)，它的常见书面表达式是“因为……所以……”或“⇒”． [变式训练] 设 a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：＋＋...