§2 微积分基本定理已知函数 f(x)＝x，F(x)＝x2.问题 1：f(x) 和 F(x)有何关系？提示：F′(x)＝f(x)．问题 2：利用定积分的几何意义求 xdx 的值．提示：xdx＝.问题 3：求 F(2)－F(1)的值．提示：F(2)－F(1)＝×22－×12＝.问题 4：你得出什么结论？提示：f(x)dx＝F(2)－F(1)，且 F′(x)＝f(x)．问题 5：由 f(x)dx 与 F(2)－F(1)之间的关系，你认为导数与定积分之间有什么联系？提示：f(x)dx＝F(b)－F(a)，其中 F′(x)＝f(x)．微积分基本定理如果连续函数 f(x)是函数 F(x)的导函数，即 f(x)＝F′(x)，则有定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称 F(x)是 f(x)的一个原函数．在计算定积分时，常常用记号 F(x)来表示 F(b)－F(a)，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作f(x)dx＝F(x)＝F ( b ) － F ( a ) ． 微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以代入公式求出定积分．求简单函数的定积分[例 1] 计算下列各定积分：(1)(2x＋3)dx；(2)(cos x＋ex)dx；(3)dx.[思路点拨] 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解．[精解详析] (1) (x2＋3x)′＝2x＋3，∴(2x＋3)dx＝(x2＋3x)＝1＋3＝4.(2) (sin x＋ex)′＝cos x＋ex，∴(cos x＋ex)dx＝(sin x＋ex)＝1－e－π.(3) ′＝2x－，∴dx＝＝7＋＝.[一点通] 应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数 F(x)的导函数 F′(x)＝f(x)为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果．1.dx＝________.解析：dx＝ln e－ln 1＝1.答案：12．求下列函数的定积分：(1)(x2＋2x＋3)dx；(2)(sin x－cos x)dx；(3)dx.解：(1)(x2＋2x＋3)dx＝x2dx＋2xdx＋3dx＝＋x2＋3x＝.(2)(sin x－cos x)dx＝sin xdx－cos xdx＝(－cos x)－sin x＝2.(3)dx＝xdx＋dx＝x2＋ln x＝×22－×12＋ln 2－ln 1＝＋ln 2.3．求下列定积分：(1) sin2dx；(2) (2－x2)·(3－x)dx.解：(1)sin2＝，而′＝－cos x，∴sin2dx＝dx＝＝－＝.(2)原式＝ (6－2x－3x2＋x3)dx＝＝－＝－.求分段函数的定积分[例 2] 已知函数 f(x)＝先画出函数图像，再求这个函数在[0,4]上的定积分．[思路点拨] 按 f(x)的分段标准，分成，，[2,4]三段积分求和．[精...
