第二讲证明不等式的基本方法一、知识梳理二、题型、技巧归纳题型一、比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数大小与 运算的关系．其主要步骤是：作差——恒等变形——判断差值的符号——结论 ．其中，变形是证明推理中的关键，变形的目的在于判断差的符号．例 1 设 a≥b＞0，求证：3a3 ＋2b3≥3a2b＋2ab2.[再练一题]1．若 a＝，b＝，c＝，则( )A ．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD.b＜a＜c题型二、综合法、分析法证明不等式分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果 ”逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法，一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手．因此通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．例 2 已知实数 x，y，z 不全为零，求证：＋＋＞(x＋y＋z)．[再练一题]2．设 a，b，c 均为大于 1 的正数，且 ab＝10.求证：logac＋logbc≥4lg c.题型三、反证法证明不等式若直接证明难以入手时，“正难则反”，可利用反证法加以证明；若要证明不等 式两边差异较大时，可考虑用放缩法进行过渡从而达到证明目的．例 3 若 a，b，c，x，y，z 均为实数，且 a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a，b，c 中至少有一个大于 0.[再练一题]3．如图，已知在△ABC 中，∠CAB＞90°，D 是 BC 的中点，求证：AD＜BC.三、随堂检测1．若实数 a，b 满足＋＝，则 ab 的最小值为( )A.B．2C．2D.42．设 a，b>0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．3．已知|x|＜，|y|＜，|z|＜，求证：|x＋2y－3z|＜ε.参考答案1.【解析】 由＋＝知 a>0，b>0，所以＝＋≥2，即 ab≥2，当且仅当即 a＝，b＝2 时取“＝”，所以 ab 的最小值为 2.【答案】 C2.【解析】 令 t＝＋，则 t2＝a＋1＋b＋3＋2＝9＋2≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，当且仅当 a＋1＝b＋3 时取等号，此时 a＝，b＝.∴tmax＝＝3.【答案】 33.【证明】 ∵|x|＜，|y|＜，|z|＜，∴|x＋2y－3z|＝|1＋2y＋(－3z)|≤|x|＋|2y|＋|－3z|＝|x|＋2|y|＋3|z|＜＋2×＋3×＝ε.∴原不等式成立．(1)(3)ab(1)(3)ab
