第二讲 证明不等式的基本方法本讲优化总结, [学生用书 P36]) 比较法证明不等式[学生用书 P36] 比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，主要有作差比较法和作商比较法，含根号时常采用比平方差或立方差．基本步骤是作差(商)—变形—判断——结论，关键是变形，变形的目的是判号(与 1 的大小关系)，变形的方法主要有配方法、因式分解法等． 若 x，y，z∈R，a>0，b>0，c>0.求证：x2＋y2＋z2≥2(xy＋yz＋zx)．【证明】 因为 x2＋y2＋z2－2(xy＋yz＋zx)＝＋＋＝＋＋≥0，所以 x2＋y2＋z2≥2(xy＋yz＋zx)成立． 设 a，b 为实数，00，b>0，a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.【证明】 (1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋·(a＋b)＝2＋，所以(a＋b)3≤8，因此 a＋b≤2. 1.设 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.证明：因为 a>0，b>0，a＋b＝1，所以 1＝a＋b≥2，≤，所以≥4.所以＋＋＝(a＋b)＋≥2·2＋4＝8，所以＋＋≥8，当且仅当 a＝b＝时，等号成立．2．已知 a>0，b>0，且 a＋b＝1，求证： ＋ ≤2.证明：要证 ＋ ≤2，只要证≤4.即证 a＋b＋1＋2≤4.只要证≤1.也就是要证 ab＋(a＋b)＋≤1，即证 ab≤.因为 a>0，b>0，a＋b＝1.所以 1＝a＋b≥2，所以 ab≤，即上式成立．故 ＋ ≤2.2 反证法证明不等式[学生用书 P37]反证法是从否定结论出发，经过推理论证，得出矛盾，从而肯定原命题正确的证明方法，其步骤为：(1)分清命题的条件和结论，作出与命题结论相矛盾的假定命题(否定结论)；(2)从假定和条件出发，应用正确的推理方法，推出矛盾；(3)断定产生矛盾的原因在于开始所作的假设不正确，于是原命题成立．从而间接证明了原命题为真命题． 已知：在如图所示的△ABC 中，∠BAC>90°，D 是 BC 的中点．求证：AD
