四 弦切角的性质主动成长夯基达标1.如图 2-4-8,AB 是半圆 O 的直径,C、D 是半圆上的两点,半圆 O 的切线 PC 交 AB 的延长线于点 P,∠PCB＝25°,则∠ADC 为（ ）图 2-4-8A.105°B.115°C.120°D.125°思路解析:连结 AC,构造出圆周角∠ADC 所对弧的弦切角,即∠PCA,而∠PCA 显然等于∠PCB加上一个直角,由此即得结果.答案:B2.如图 2-4-9,AB 是⊙O 的直径,EF 切⊙O 于 C,AD⊥EF 于 D,AD =2,AB =6,则 AC 的长为（ ）图 2-4-9A.2B.3C.23D.4思路解析:连结 BC,构造出弦切角所对的圆周角,由已知有△ADC 与△ACB 相似,所以可得ACAD = ABAC ,代入数值得关于 AC 的方程.答案:C3.如图 2-4-10,AB 是⊙O 的弦,CD 是经过⊙O 上的点 M 的切线.求证:图 2-4-10(1)如果 AB∥CD,那么 AM =MB;(2)如果 AM =BM,那么 AB∥CD.1思路分析:本题的两个问题互为逆命题,利用弦切角在中间起桥梁作用,如第（1）题,由平行得∠B =∠DMB,由弦切角得∠DMB =∠A,于是有∠A =∠B.证明:(1)CD 切⊙O 于 M 点,∴∠DMB=∠A,∠CMA =∠B. AB∥CD,∴∠CMA =∠A.∴∠A =∠B.∴AM =MB.(2) AM =BM,∴∠A =∠B. CD 切⊙O 于 M 点,∴∠DMB =∠A,∠CMA =∠B.∴∠CMA =∠A.∴AB∥CD.4.如图 2-4-11,四边形 ABED 内接于⊙O,AB∥DE,AC 切⊙O 于 A,交 ED 延长线于 C.求证:AD∶AE =DC∶BE.图 2-4-11思路分析:求证成比例的四条线段正好在两个三角形△ ACD 和△ABE 中,所以只要证明△ACD∽△ABE 即可.证明: 四边形 ABED 内接于圆,∴∠ADC =∠ABE. AC 是⊙O 的切线,∴∠CAD =∠AED. AB∥DE,∴∠BAE =∠AED.∴∠CAD =∠BAE.∴△ACD∽△ABE.∴AD∶AE =DC∶BE.5.如图 2-4-12,P 为⊙O 的直径 CB 延长线上的一点,A 为⊙O 上一点,若=,AE 交 BC 于D,且∠C = 21 ∠PAD.图 2-4-12(1)求证:PA 为⊙O 的切线;(2)若∠BEA =30°,BD ＝1,求 AP 及 PB 的长.思路分析:对于（1）,A 已经是圆上一点,所以可以连结 OA,证明 PA 与 OA 垂直;对于（2）,将∠E利用圆周角定理转移到 Rt△ODA 和 Rt△OAP 中,解直角三角形即可得到线段 AP 及 PB 的长.2（1）证明:连结 AO, =,BC 为直径,∴AE⊥BC,AD =DE, =DE. OA =OB,∴∠C =∠3.∴∠1=2∠C.又 ∠C = 21 ∠PAD,∴∠1=∠2. ∠1+∠4=90°,∴∠2+∠4=90°.∴PA⊥OA.∴PA ...
