§3 定积分的简单应用如图．问题 1：图中阴影部分是由哪些曲线围成？提示：由直线 x＝a，x＝b 和曲线 y＝f(x)和 y＝g(x)围成．问题 2：你能求得其面积吗？如何求？提示：能，先求由 x＝a，x＝b 和 y＝f(x)围成的曲边梯形面积 S1＝f(x)dx，再求由 x＝a，x＝b 和 y＝g(x)围成的曲边梯形面积 S2＝g(x)dx，则所求阴影部分面积为 S1－S2.平面图形的面积一般地，设由曲线 y＝f(x)，y＝g(x)以及直线 x＝a，x＝b 所围成的平面图形的面积为 S，则S＝f(x)dx－g(x)dx，f(x)≥g(x)．定积分在几何中的简单应用主要是求平面图形的面积和旋转体的体积，解题关键是根据图形确定被积函数以及积分上、下限．不分割型图形面积的求解[例 1] 求由抛物线 y＝x2－4 与直线 y＝－x＋2 所围成图形的面积．[思路点拨] 画出草图，求出直线与抛物线的交点，转化为定积分的计算问题．[精解详析] 由得或所以直线 y＝－x＋2 与抛物线 y＝x2－4 的交点为(－3，5)和(2,0)，设所求图形面积为 S，根据图形可得S＝ (－x＋2)dx－ (x2－4)dx＝－＝－＝.[一点通] 求由曲线围成图形面积的一般步骤：① 根据题意画出图形；② 求交点，确定积分上、下限；③ 确定被积函数；④ 将面积用定积分表示；⑤ 用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分，求出结果．1．由直线 x＝－，x＝，y＝0 与曲线 y＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A. B．1C. D.解析：结合函数图像可得所求的面积是定积分cos xdx＝sin x＝－＝.答案：D2．(山东高考)直线 y＝4x 与曲线 y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A．2 B．4C．2 D.4解析：由 4x＝x3，解得 x＝0 或 x＝2 或 x＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线 y＝4x 与曲线 y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为＝＝4.答案：D3．计算由曲线 y2＝x，y＝x3所围成的图形的面积 S.解：作出曲线 y2＝x，y＝x3的草图，所求面积为如图中的阴影部分的面积．解方程组得交点的横坐标 x＝0，x＝1，因此所求图形面积为S＝dx－x3dx＝x－x4＝－＝.分割型图形面积的求解[例 2] 求由曲线 xy＝1 及直线 x＝y，y＝3 所围成平面图形的面积．[思路点拨] 作出直线和曲线的草图，可将所求图形的面积转化为两个曲边梯形面积的和，通过计算定积分来求解，注意确定积分的上、下限．[精解详析] 作出曲线 xy＝1，直线 x＝y，y＝3 的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由得故 A；由...
