第二讲 证明不等式的基本方法比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件．作差比较法证明的一般步骤是：①作差；②恒等变形；③判断结果的符号；④下结论．其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法． 若 x，y，z∈R，a＞0，b＞0，c＞0，求证：x2＋y2＋z2≥2(xy＋yz＋zx)．[证明] x2＋y2＋z2－2(xy＋yz＋zx)＝＋＋(z2＋x2－2zx)＝＋(y－ z)2＋≥0.∴x2＋y2＋z2≥2(xy＋yz＋zx)成立.综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立．综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论．证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握． 设 f(x)＝3ax2＋2bx＋c，若 a＋b＋c＝0，f(0)f(1)＞0，求证：(1)方程 f(x)＝0 有实根；(2)－2＜＜－1；(3)设 x1，x2是方程 f(x)＝0 的两个实根，则≤|x1－x2|＜.[证明] (1)当 a＝0 时，b＝－c，f(0)·f(1)＝c(3a＋2b＋c)＝－c2≤0，与已知矛盾，所以 a≠0.方程 3ax2＋2bx＋c＝0 的判别式 Δ＝4(b2－3ac)，由 a＋b＋c＝0，消去 b，得 Δ＝4(a2＋c2－ac)＝4[＋c2]＞0.故方程 f(x)＝0 有实根．(2)由 f(0)·f(1)>0，得 c(3a＋2b＋c)>0.由 a＋b＋c＝0，消去 c 得(a＋b)(2a＋b)<0.因为 a2＞0，所以＜0.故－2<<－1.(3)由已知得，x1＋x2＝－，x1x2＝＝－，所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝＋.因为－2<<－1，所以≤(x1－x2)2<.故≤|x1－x2|<.分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效．由教材内容可知，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不...
