四 弦切角的性质[对应学生用书 P28]弦切角定理(1)文字语言叙述：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．(2)图形语言叙述：如图，AB 与⊙O 切于 A 点，则∠BAC＝∠D.[说明] 弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对弧的度数．[对应学生用书 P29]弦切角定理[例 1] (2010·新课标全国卷)如图，已知圆上的弧＝，过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.[思路点拨] 利用弦切角定理．[证明] (1)因为＝，所以∠BCD＝∠ABC.又因为 EC 与圆相切于点 C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB.故＝，即 BC2＝BE·CD.利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注 意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切角．1．如图， AB 为⊙O 的直径，直线 EF 切⊙O 于 C，若∠BAC＝56°，则∠ECA＝________.解析：连接 BC， AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠B＝90°－∠BAC＝90°－56°＝34°.又 EF 与⊙O 相切于点 C，由弦切角 定理，有∠ECA＝∠B＝34°.答案：34°2.如图，AB 是⊙O 的弦，CD 是经过⊙O 上的点 M 的切线，求证：(1)如果 AB∥CD，那么 AM＝MB；(2)如果 AM＝BM，那么 AB∥CD.证明：(1) CD 切⊙O 于 M 点，∴∠DMB＝∠A，∠CMA＝∠B. AB∥CD，∴∠CMA＝∠A.∴∠A＝∠B，故 AM＝MB.(2) AM＝BM，∴∠A＝∠B. CD 切⊙O 于 M 点，∠CMA＝∠B，∴∠CMA＝∠A.∴AB∥CD.3．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，直线 CD 与⊙O 相切于点 C，AC 平分∠DAB.(1)求证：AD⊥CD；(2)若 AD＝2，AC＝，求 AB 的长．解：(1)证明：如图，连接 BC. 直线 CD 与⊙O 相切于点 C，∴∠DCA＝∠B. AC 平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB.∴∠ADC＝∠ACB. AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ADC＝90°，即 AD⊥CD.(2) ∠DCA＝∠B，∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB.∴＝，∴AC2＝AD·AB. AD＝2，AC＝，∴AB＝.运用弦切角定理证明比例式或乘积式[例 2] 如图，PA，PB 是⊙O 的切线，点 C 在上，CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，垂足分别为 D，E，F.求证：CD2＝CE·CF.[思路点拨] →→→[证明] 连接 CA、CB. PA、PB 是⊙O 的切线，∴∠CAP＝∠CBA，∠CBP＝∠CAB.又...
