高中数学 第四章 定积分 4.2 微积分基本定理学案（含解析）北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学学案

§4.2 微积分基本定理1.了解微积分基本定理的含义.(难点)2.会利用微积分基本定理求函数的定积分.(重点)[基础·初探]教材整理 微积分基本定理阅读教材 P82～P84，完成下列问题.1.微积分基本定理如果连续函数 f(x)是函数 F(x)的导函数，即 f ( x ) ＝ F ′( x ) ，则有 f(x)dx＝F ( b ) － F ( a ) .2.定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面积为 S 下，则(1)图 421(1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图 421(1)，则 f(x)dx＝S 上.(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图 421(2)，则 f(x)dx＝－ S 下.(2) (3)图 421(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图 421(3)，则 f(x)dx＝S 上－ S 下，若 S 上＝S 下，则 f(x)dx＝0.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数 f(x)是原函数 F(x)的导数.( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为 0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数.( )【答案】 (1)√ (2)√ (3)√2.(－sin x)dx 等于( )1A.0B.2C.－2D.4【解析】 (－sin x)dx＝cos x＝cos 2π－cos 0＝0.【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： [小组合作型]利用微积分基本定理求定积分 计算下列定积分.(1)(x2＋2x＋3)dx；(2)(cos x－ex)dx；(3)dx；(4) sin2dx. 【思路探究】 (1)、(2)先求被积函数的一个原函数 F(x)，然后利用微积分基本定理求解；(3)、(4)则需先对被积函数变形，再利用微积分基本定理求解.【自主解答】 (1)(x2＋2x＋3)dx＝x2dx＋2xdx＋3dx＝＋x2＋3x＝.(2)(cos x－ex)dx＝cos xdx－exdx＝sin x－ex＝－1.(3)＝2x＋1＋，而(x2＋x＋ln x)′＝2x＋1＋.∴dx＝(x2＋x＋ln x)＝4＋ln 2.(4)原式＝ (1－cos x)dx＝ (1－cos x)dx＝1dx－cos xdx＝－＝.求简单的定积分应注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限.[再练一题]1.dx＝________.2【解析】 dx＝dx＝＝－(ln 1＋1)＝ln 2－.【答案】 ln 2－求分段函数的定积分 计算下列定积...