五 与圆有关的比例线段主动成长夯基达标1.点 C 在⊙O 的弦 AB 上,P 为⊙O 上一点,且 OC⊥CP,则（ ）A.OC2＝CA·CBB.OC2＝PA·PBC.PC2＝PA·PBD.PC2＝CA·CB思路解析:根据 OC⊥CP,可知 C 为中点;再由相交弦定理即有 PC2＝CA·CB.答案:D2.如图 2-5-10,点 A 是半圆上一个三等分点,点 B 是弧 AN 的中点,点 P 是直径 MN 上一动点,⊙O 的半径为 1,则 AP +BP 的最小值为( )图 2-5-10A.1B.22 C.13 D.2思路解析:过点 B 作 BB′⊥MN,交⊙O 于点 B′,连结 AB′交 MN 于点 P,此时点 P 使 AP +BP 最小.易知 B 与 B′点关于 MN 对称,依题意∠AON=60°,则∠B′ON =∠BON =30°,所以∠AOB′=90°,AB′=OA2+OB′2=2.故 PA +PB 的最小值为2.答案:D3.如图 2-5-11,已知 AB 是半圆的直径,直线 MN 切半圆于 C,BD⊥MN 于 D.求证:BC2＝BD·AB.图 2-5-11思路分析:简单型的比例线段问题,主要是证两个三角形相似.这样,如何证得两个三角形相似,就成为关键问题,可以利用两角对应相等,也可以利用一角相等,夹边对应成比例.证明:连结 AC. AB 是直径,∴∠ACB＝90°. 又 BD⊥MN,∴∠BDC＝90°. ∴∠ACB＝∠CDB.又 MN 切⊙O 于 C,∴∠DCB＝∠A.1∴△ACB∽△CDB.∴AB∶CB＝CB∶BD.则 BC2＝BD·AB.4.如图 2-5-12,以⊙O 上的一点 A 为圆心作⊙A,分别交⊙O 于 B、C,过 A 作弦 AF 交公共弦于E,交⊙A 于 D.求证:AD2＝AE·AF.图 2-5-12思路分析:由于本题要证的成比例的四条线段在同一条直线上,因此不存在相似三角形,所以必须转移其中一条或两条,以构成两个能够相似的三角形,注意到同圆半径相等的性质,所以将 AD 换成 AB,通过等线段代换,可以达到目的.证明:分别连结 AB、AC、BF. AB＝AC,∴AB =AC.∴∠ABC＝∠F.又∠BAF 为公共角,∴△ABE∽△BFA.∴AB2＝AE·AF. AB＝AD,∴AD2＝AE·AF.5.如图 2-5-13,PA 切⊙O 于 A,割线 PBC 交⊙O 于 B、C 两点,D 为 PC 的中点,连结 AD 并延长交⊙O 于 E,已知 BE2＝DE·EA,图 2-5-13求证:（1）PA＝PD;（2）BP2＝ 21 AD·DE.思路分析:（1）中因为 PA 与 PD 在同一个三角形中,所以可以通过说明两角相等解决问题;（2）中则运用切割线定理转换线段.证明:(1)连结 AB,证明△BED∽△AEB 得∠DBE＝∠DAB.又可证∠PAD＝∠ADP,2∴PA＝PD.(2)PA2＝PB·PC 且 ...
