高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 五 与圆有关的比例线段创新应用教学案 新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学教学案

五 与圆有关的比例线段[对应学生用书 P31]1．相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，弦 AB 与 CD 相交于 P 点，则 PA·PB＝PC · PD .2．割线有关定理(1)割线定理：① 文字叙述：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．② 图形表示：如图，⊙O 的割线 PAB 与 PCD，则有：PA · PB ＝ PC · PD .(2)切割线定理：① 文字叙述：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；② 图形表示：如图，⊙O 的切线 PA，切点为 A，割线 PBC，则有 PA 2 ＝ PB · PC .3．切线长定理(1)文字叙述：从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．(2)图形表示：如图：⊙O 的切线 PA，PB，则 PA＝PB，∠OPA＝∠ OPB .[对应学生用书 P32]相交弦定理[例 1] 如图，已知在⊙O 中，P 是弦 AB 的中点，过点 P 作半径 OA 的垂线分别交⊙O 于C、D 两点，垂足是点 E.求证：PC·PD＝AE·AO.[思路点 拨] 由相交弦定理知 PC·PD＝AP·PB，又 P 为 AB 的中点，∴PC·PD＝AP2.在Rt△PAO 中再使用射影定理即可．[证明] 连接 OP， P 为 AB 的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB. PE⊥OA，∴AP2＝AE·AO. PD·PC＝PA·PB＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.(1)相交弦定理的运用往往与相似三角形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明．(2)由相交弦定理可得推论：垂直于弦的直径平分这条弦，且弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．1.如图，已知⊙O 的两条弦 AB，CD 相交于 AB 的中点 E，且 AB＝4，DE＝CE＋3，则 CD的长为( )A．4 B．5C．8 D．10解析：设 CE＝x，则 DE＝3＋x.根据相交弦定理，得 x(x＋3)＝2×2，x＝1 或 x＝－4(不合题意，应舍去)．则 CD＝3＋1＋1＝5.答案：B2. 如 图 ， 已 知 AB 是 ⊙ O 的 直 径 ， OM ＝ ON ， P 是 ⊙ O 上 的 点 ，PM、PN 的延长线分别交⊙O 于 Q、R.求证：PM·MQ＝PN·NR.⇒PM·MQ＝PN·NR.割线定理、切割线定理[例 2] 如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE 都是⊙O 的割线，已知 AC＝AB.证明：(1)AD·AE＝AC2；(2)FG∥AC.[思路点拨] (1)利用切割线定理；(2)证△ADC∽△ACE.[证明] (1) AB 是⊙O 的一条切线，ADE 是⊙O 的割线，...