五 与圆有关的比例线段互动课堂重难突破 一、相交弦定理1.相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.图 2-5-12.定理的证明:如图 2-5-1,已知⊙O 的两条弦 AB、CD 相交于圆内的一点 P.求证:PA·PB＝PC·PD.证明:连结 AC、BD,则由圆周角定理有∠B =∠C.又 ∠BPD =∠CPA,∴△APC∽△DPB.∴PA∶PD ＝PC∶PB,即 PA·PB ＝PC·PD.当然,连结 AD、BC 也能利用同样道理证得同样结论.3.由于在问题的证明中,⊙O 的弦 AB、CD 是任意的,因此,PA·PB＝PC·PD 成立,表明“过定圆内一定点 P 的弦,被 P 点分成的两条线段长的积应为一个定值”.虽然过定点 P 的弦有无数多条,然而在这众多的弦中有一些长度比较特殊的弦,如过点 P 的最长或最短的弦,通过它们可以找到定值.图 2-5-2如图 2-5-2（1）,考察动弦 AB,若 AB 过⊙O 的圆心 O,则 AB 为过点 P 的最长的弦,设⊙O 的半径为 R,则 PA·PB＝（R－OP）（R＋OP）.如图 2-5-2（2）,考察过点 P 的弦中最短的弦,AB 为过⊙O 内一点 P 的直径,CD 为过点 P且垂直于 AB 的弦,显然,由垂直定理和相交弦定理,应有 PA·PB＝PC·PD＝2)21( CD＝OC2－OP2＝R2－OP2.由于⊙O 是定圆,P 为⊙O 内一定点,故⊙O 的半径 R 与 OP 的长为定值.设 OP＝d,比较上述两式,其结论是一致的,即 PA·PB＝（R-d）(R +d )=R2-d2,为定值.于是,相交弦定理可进一步表述为:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积为一定量,它等于圆的半径与交点到圆心距离的平方差.定圆的任一弦被定点分得两线段长的积为定值,这个定值与点 P 的位置有关,对圆内不同的点 P,一般来说,定值是不同的,即这个定值是相对于定点 P 与定圆 O 而言的.同时,由第二式可直接得到相交弦定理的推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是1它分直径所成的两条线段的比例中项,即 PC2＝PD2＝PA·PB.二、割线定理与切割线定理1.割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.2.切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.图 2-5-3 3.符号语言表述:如图 2-5-3,PA·PB=PC·PD =PE2.4.定理的证明:连结 EC、ED,由于 PE 为切线,所以∠PEC=∠PDE.又因为∠EPC=∠EPC,于是△PEC∽△PDE,因此有 PE∶PC =PD∶PE,即 PE2=PC·PD.同理,有 PE2=PA·PB,所以 PA·PB...
