五 与圆有关的比例线段互动课堂重难突破 一、相交弦定理1
相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等
图 2-5-12
定理的证明:如图 2-5-1,已知⊙O 的两条弦 AB、CD 相交于圆内的一点 P
求证:PA·PB＝PC·PD
证明:连结 AC、BD,则由圆周角定理有∠B =∠C
又 ∠BPD =∠CPA,∴△APC∽△DPB
∴PA∶PD ＝PC∶PB,即 PA·PB ＝PC·PD
当然,连结 AD、BC 也能利用同样道理证得同样结论
由于在问题的证明中,⊙O 的弦 AB、CD 是任意的,因此,PA·PB＝PC·PD 成立,表明“过定圆内一定点 P 的弦,被 P 点分成的两条线段长的积应为一个定值”
虽然过定点 P 的弦有无数多条,然而在这众多的弦中有一些长度比较特殊的弦,如过点 P 的最长或最短的弦,通过它们可以找到定值
图 2-5-2如图 2-5-2（1）,考察动弦 AB,若 AB 过⊙O 的圆心 O,则 AB 为过点 P 的最长的弦,设⊙O 的半径为 R,则 PA·PB＝（R－OP）（R＋OP）
如图 2-5-2（2）,考察过点 P 的弦中最短的弦,AB 为过⊙O 内一点 P 的直径,CD 为过点 P且垂直于 AB 的弦,显然,由垂直定理和相交弦定理,应有 PA·PB＝PC·PD＝2)21( CD＝OC2－OP2＝R2－OP2
由于⊙O 是定圆,P 为⊙O 内一定点,故⊙O 的半径 R 与 OP 的长为定值
设 OP＝d,比较上述两式,其结论是一致的,即 PA·PB＝（R-d）(R +d )=R2-d2,为定值
于是,相交弦定理可进一步表述为:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积为一定量,它等于圆的半径与交点到圆心距离的平方差
定圆的任一弦被定点分得两线段长的积为定值,这个定值与点 P 的位置有关,对圆
