一 圆周角定理[对应学生用书 P18]1．圆周角定理文字语言圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半图形语言符号语言在⊙O 中，所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC，∠BOC，则有∠BAC＝∠BOC作用确定圆中两个角的大小关系2．圆心角定理文字语言圆心角的度数等于它所对弧的度数图形语言符号语言A，B 是⊙O 上两点，则弧的度数等于∠ AOB 的度数作用确定圆弧或圆心角的度数3．圆周角定理的推论(1)推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(2)推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．[说明] (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是“圆心角等于它所对的弧”；(2)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”．[对应学生用书 P18]与圆周角定理相关的证明[例 1] 如图，已知：△ABC 内接于⊙O，D、E 在 BC 边上，且 BD＝CE，∠1＝∠2，求证：AB＝AC.[思路点拨] 证明此题可先添加辅助线构造等弦、等弧的条件，再由圆周角定理及其推论证明．[证明] 如图，延长 AD、AE 分别交⊙O 于 F、G，连接 BF、CG， ∠1＝∠2，∴＝，∴BF＝CG，＝，∴∠FBD＝∠GCE.又 BD＝CE，∴△BFD≌△CGE，∴∠F＝∠G，∴＝，∴AB＝AC.(1)有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧经常相互转化，即欲证圆周角相等，可转化为证明它们所对的弧相等；要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等，这是证明圆中线段相等的常见策略．(2)若已知条件中出现直径，则常用到“直径所对的圆周角为直角”这一性质解决问题．1.如图，OA 是⊙O 的半径，以 OA 为直径的⊙C 与⊙O 的弦 AB 相交于点 D.求证：D 是 AB 的中点．证明：连接 OD、BE.因为∠ADO＝∠ABE＝90°，所以 OD 和 BE 平行．又因为 O 是 AE 的中点，所以 D 是 AB 的中点．2．已知 AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆的直径．求证：∠BAE＝∠DAC.证明：连接 BE，因为 AE 为直径，所以∠ABE＝90°.因为 AD 是△ABC 的高，所以∠ADC＝90°.所以∠ADC＝∠ABE.因为∠E＝∠C，所以∠BAE＝90°－∠E，∠DAC＝90°－∠C.所以∠BAE＝∠DAC.3．已知⊙O 中，AB＝AC，D 是 BC 延长线上一点，AD 交⊙O 于 E.求证：AB2＝AD·AE.证明：如图， AB＝AC，∴＝.∴∠ABD＝∠AEB.在△ABE 与△ADB 中，∠BAE＝∠DAB，∠AEB＝∠ABD，∴△ABE∽△ADB.∴＝，即 AB2＝AD·AE....
