3.4 基本不等式第 1 课时学习目标：1.掌握基本不等式,能借助几何图形说明基本不等式的意义. 2.基本不等式的证明。如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.在正方形 ABCD 中有 4 个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边长分别为 a,b,那么正方形的边长为.问题 1:上述情境中,正方形 ABCD 的面积为 ,4 个直角三角形的面积的和 ,由于 4 个直角三角形的面积之和不大于正方形的面积,于是就可以得到一个不等式: ,我们称之为重要不等式,即对于任意实数 a,b,都有 当且仅当 时,等号成立. 我们也可以通过作差法来证明: - =(a-b)2≥0, ∴ ,当且仅当 a=b 时取等号. 问题 2:基本不等式若 a,b∈(0,+∞),则 ,当且仅当 时,等号成立. 问题 3:对于基本不等式,请尝试从其他角度予以解释.(1)基本不等式的几何解释:在直角三角形中,直角三角形斜边上的 斜边上的 .在圆中,半径不小于半弦长. (2)利用数列知识把 看作正数 a、b 的 ,看作正数 a、b 的 ,那么该定理可以叙述为:两个正数的 不小于它们的 . (3)在数学中,我们称 为 a、b 的 ,称为 a、b 的 .因此,两个正数的 不小于它们的 . 11.在下列不等式的证明过程中,正确的是 . ① 若 a,b∈R,则 + ≥2=2; ② 若 a,b∈R+,则 lg a+lg b≥2;③ 若 x 为负实数,则 x+ ≥-2=-2; ④ 若 x 为负实数,则 3x+3-x≥2=2.2.下列不等式一定成立的是 . ①lg(x2+ )>lg x(x>0); ②sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z);③> (b>a>0); ④>1(x∈R).1. 已知cba,,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba222.2 已知dcba,,,都是正数，求证：abcdbdaccdab4))((.3 证明：1、)1(311aaa 2、)0(21xxx24.已知正数 0
0,lg x+≥2; ② 对任意 x∈R,ax+ ≥2;③ 对任意 x∈(0, ),tan x+≥2; ④ 对任意 x∈R,sin x+≥2.其中正确的是 . 3.已知 a、b、c 是不全相等的正数,求证:(a+b)(b+c)(c+a)>8abc.34
