高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系本讲小结学案 新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学学案

第二节 平面与圆柱面的截线整合提升知识网络典例精讲 直线与圆的位置关系是初等几何的核心,通过本章学习进一步熟悉并应用分类思想、运动变化思想和猜想与证明的数学思想方法. 本讲有四类问题,一是与圆有关角的计算与证明,二是圆内接四边形性质与判定,三是切线的性质与判定,四是与圆有关线段的计算与证明.【例 1】 如图 2-1,EB、EC 是⊙O 的两条切线,B、C 是切点,A、D 是⊙O 上两点,如果∠E=46°,∠DCF=32°,则∠A 的度数是______________.图 2-1思路分析:要求∠A,可转化为求∠BCD.由已知∠DCF 的度数,想到先求∠ECB 的度数,从而注意到题目所给的 EB、EC 为切线,将∠ECB 与∠E 的度数联系起来.解法一: EB、EC 是⊙O 的切线,∴EC=EB.又∠E=46°,∴∠ECB=246180=67°. ∠DCF=32°,∴∠BCD=180°-67°-32°=81°. ∠A+∠BCD=180°,∴∠A=180°-81°=99°.温馨提示 本解法借助切线长定理和圆内接四边形的有关性质,此题还可借助于弦切角定理来求.解法二:连结 AC, EB、EC 是⊙O 切线,图 2-2∴EB=EC.∴∠ECB=246180=67°.1 EF 切⊙O 于点 C,∴∠BAC=∠ECB=67°,∠CAD=∠DCF=32°.∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=67°+32°=99°.答案:99°【例 2】 如图 2-3,D、E 是△ABC 的 BC、AC 两边上两点,且∠ADB=∠AEB.求证:∠CED=∠ABC.图 2-3思路分析:要证∠CED=∠ABC,容易想到圆内接四边形的性质.而证 A、B、D、E 四点共圆,用圆内接四边形判定定理不易找到条件,我们采用分类讨论思想.证明:作△ABE 的外接圆⊙O,则点 D 与⊙O 有三种位置关系:① 点 D 在圆外;② 点 D 在圆内;③点 D 在圆上.(1)如果点 D 在圆外,设 BD 与⊙O 交于点 F,连结 AF,则∠AFB=∠AEB,而∠AEB=∠ADB.∴∠AFB=∠ADB.这与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾.故点 D 不能在圆外.(2)如果点 D 在圆内,设⊙O 与 CD 交于 F,连结 AF,则∠AFB=∠AEB.又 ∠AEB=∠ADB,∴∠AFB=∠ADB.这也与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾.故点 D 不可能在圆内.综上所求,A、B、D、E 在同一圆上.∴∠CED=∠ABC.温馨提示 通过证四点共圆,然后利用圆内接四边形的性质是本题的一个特色,四点共圆的证明除了圆内接四边形的判定定理及推论外,定理本身的证明方法就是一种有效的证法.证法中分类讨论思想是该证法的精髓,以反证法和圆周角定理作为辅助手段.【例 3】如图 2-4,已知 Rt△ABC 中,∠B=90°,AC=13,AB=5,O 是 AB 上...