第二节 平面与圆柱面的截线单元整合知识网络专题探究专题一 与圆有关的角的计算与证明圆中的角有四类：圆心角、圆周角、弦切角和弧所对的角，与圆有关的角的计算与证明通常涉及这四类角，因此圆周角定理、圆心角定理和弦切角定理是解决此类问题的知识基础，通常利用圆周角、弦切角、圆心角与弧的关系来转化，并借助于圆内接四边形的对角互补和圆的切线垂直于经过切点的半径(获得直角)来解决．【例 1】如图，AB 是圆 O 的直径，D，E 为圆 O 上位于 AB 异侧的两点，连接 BD，并延长至点C，使 BD＝DC，连接 AC，AE，DE.求证：∠E＝∠C.证明：如图，连接 OD，因为 BD＝DC，O 为 AB 的中点，所以 OD∥AC，于是∠ODB＝∠C.因为 OB＝OD，所以∠ODB＝∠B.于是∠B＝∠C.因为点 A，E，B，D 都在圆 O 上，且 D，E 为圆 O 上位于 AB 异侧的两点，所以∠E 和∠B 为同弧所对的圆周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.【例 2】如图所示，D，E 分别是△ABC 的 BC，AC 边上的点，且∠ADB＝∠AEB.求证：∠CED＝1∠ABC.提示：要证明∠CED＝∠ABC，容易想到圆内接四边形的性质，需证 A，B，D，E 四点共圆．用圆内接四边形的判定定理不易找到条件，故采用分类讨论来解决．证明：作△ABE 的外接圆，则点 D 与外接圆有三种位置关系：①点 D 在圆外；②点 D 在圆内；③点 D 在圆上．(1)如果点 D 在圆外，设 BD 与圆交于点 F，连接 AF，如图所示．则∠AFB＝∠AEB.而∠AEB＝∠ADB，∴∠AFB＝∠ADB.这与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾．故点 D 不能在圆外．(2)如果点 D 在圆内，设圆与 BD 的延长线交于 F，连接 AF，如图所示，则∠AFB＝∠AEB.又 ∠AEB＝∠ADB，∴∠AFB＝∠ADB.这也与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾．故点 D 不可能在圆内．综上可得，点 A，B，D，E 在同一圆上．∴∠CED＝∠ABC.专题二 与圆有关的线段的计算与证明在圆中，解决与圆有关的线段的计算与证明问题时，首先考虑圆幂定理：相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理，从而获得成比例线段，再结合射影定理、相似三角形进行等比代换或等线代换加以证明，或列出方程解得线段的长．【例 3】如图所示，已知⊙O 和⊙O′外切于点 E，AC 是外公切线，A，C 是切点，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O′的切线，D 是切点，求证：AB＝BD.2证明：作两圆内公切线 EF，交 AC 于 F.连接 AE，BE，CE. ∠FAE＝∠FEA...
