第二讲 直线与圆的位置关系[对应学生用书 P35]近两年高考中，主要考查圆的切线定理，切割线定理，相交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目难度不大，以容易题为主．对于与圆有关的比例线段问题通常要考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查题型，常见的证明方法有：①到某定点的距离都相等；②如果某两点在一条线段的同侧时，可证明这两点对该线段的张角相等；③证明凸四边形的内对角互补(或外角等于它的内对角)等．1．(湖南高考)如图，已知 AB，BC 是⊙O 的两条弦，AO⊥BC，AB＝，BC＝2，则⊙O 的半径等于________．解析：设 AO，BC 的交点为 D，由已知可得 D 为 BC 的中点，则在直角三角形 ABD 中，AD＝＝1，设圆的半径为 r，延长 AO 交圆 O 于点E，由圆的相交弦定理可知 BD·CD＝AD·DE，即()2＝2r－1，解得 r＝.答案：2.(新课标全国卷Ⅱ)如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与⊙O 相交于点 B，C，PC＝2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点 E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.证明：(1)连接 AB，AC.由题设知 PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而＝.因此 BE＝EC.(2)由切割线定理得 PA2＝PB·PC.因为 PA＝PD＝DC，所以 DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得 AD·DE＝BD·DC，所以 AD·DE＝2PB2.3．(新课标全国卷Ⅱ)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线 CD 于点D，E，F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且 BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若 DB＝BE＝EA，求过 B，E，F，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值. 解：(1)证明：因为 CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知＝，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为 B，E，F，C 四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝ 90°，因此 CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)连接 CE，因为∠CBE＝90°，所以过 B，E，F，C 四点的圆的直径为 CE.由 BD＝BE，有 CE＝DC.又 BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而 DC2＝DB·DA＝3DB2，故过 B，E，F，C 四点...
