第 2 课时 正弦定理[目标] 1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其基本应用；2.能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状.3.能利用正、余弦定理解决综合问题．[重点] 应用正弦定理进行边角转化，解决三角形问题．[难点] 正弦定理的理解及推导及能利用正、余弦定理解决综合问题． 要点整合夯基础 知识点一 正弦定理[填一填][答一答]1．在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比值等于多少？与该三角形外接圆的直径有什么关系？提示：这个比值恰好等于该三角形外接圆的直径 2R，即＝＝＝2R，其中 R 是该三角形外接圆的半径．2．在△ABC 中，a＝4b，则＝4.解析：由正弦定理＝，得＝＝＝4.知识点二 正弦定理的变形公式[填一填]①a＝＝，b＝＝，c＝＝；②a＝2RsinA，b＝2 R sin B ，c＝2 R sin C ；③sinA＝，sinB＝，sinC＝；④abc＝sin A sin B sin C .其中，R 为△ABC 外接圆的半径．这些常见的公式的变形形式应熟练掌握，在解决具体问题时，根据不同的题设条件灵活选用不同的变形公式．[答一答]3．正弦定理的变形公式的作用是什么？正弦定理的适用范围是什么？提示：由正弦定理的变形公式可以实现三角形中边与角之间的相互转化，正弦定理对任意的三角形都成立．4．在△ABC 中，A>B 与 sinA>sinB 的关系怎样？提示：在△ABC 中，若 A>B，则 a>b.由正弦定理得 2RsinA>2RsinB，即 sinA>sinB.若 sinA>sinB，则 2RsinA>2RsinB(R 是△ABC 的外接圆半径)．由正弦定理得 a>b.综上所述，在△ABC 中，A>B 与 sinA>sinB 等价．知识点三 利用正弦定理判断三角形的解的个数[填一填]已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被 唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下：由正弦定理得 sinB＝，① 若>1，则满足条件的三角形个数为 0，即无解．② 若＝1，则满足条件的三角形个数为 1，即一解．③ 若<1，则满足条件的三角形个数为 1 或 2 .[答一答]5．利用正弦定理能解什么条件下的三角形？提示：正弦定理的等式中有四个量，所以知其中三个，可求第四个．因此，知两角及一边可解三角形；知两边及一边的对角也可解三角形．6．在△ABC 中，已知 b＝3，c＝3，B＝30°，判断三角形解的个数．提示：由正弦定理和已知条件，得 sinC＝＝，∴C＝60°或 C＝120...
