第六章 平面向量及其应用本章总结平面向量的线性运算是近几年高考的考查重点和热点，通常以几何图形为依托考查向量的线性运算，重在对向量的分解与合成，一般以选择题或填空题的形式出现．[例 1] 如图，已知OA＝a，OB＝b，C 为线段 AO 上距 A 较近的一个三等分点，D 为线段 CB 上距 C 较近的一个三等分点，则用 a，b 表示OD的表达式为( )A.(4a＋3b) B.(9a＋7b)C.(2a＋b) D.(3a＋b)[解析] OD＝OC＋CD＝OC＋CB＝OC＋(OB－OC)＝OC＋OB＝OA＋OB＝(4a＋3b)，∴故选 A.[答案] A数量积的运算是本章的核心，由于数量积的运算及其性质涵盖向量的长度、角度以及不等式等，因此它的应用也最广泛．利用数量积可以求长度、也可判断直线与直线之间的关系(相交的夹角以及垂直)，还可以通过向量的坐标运算将代数中的有关函数、不等式以及数列等知识融合在一起，当然更为重要的还在于向量与解析几何中的交汇．[例 2] 平面内给定三个向量 a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m、n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数 k；(3)设 d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝1，求向量 d.[解] (1) a＝mb＋nc，∴(3,2)＝(－m＋4n,2m＋n)．∴解得(2) (a＋kc)∥(2b－a)，又 a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∴2(3＋4k)＋5(2＋k)＝0，即 k＝－.(3) d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，又(d－c)∥(a＋b)，|d－c|＝1，∴解得或∴d＝(4＋，1＋)或 d＝(4－，1－)．[例 3] 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AP⊥BD，垂足为 P，且 AP＝3，则AP·AC＝________.[解析] AP·AC＝AP·(AB＋BC)＝AP·AB＋AP·BC＝AP·AB＋AP·(BD＋DC)＝AP·BD＋2AP·AB，又 AP⊥BD，∴AP·BD＝0. AP·AB＝|AP||AB|cos∠BAP＝|AP|2，∴AP·AC＝2|AP|2＝2×9＝18.[答案] 18平面向量的数量积是向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征，利用向量的数量积可以证明两向量垂直、平行，求两向量的夹角，计算向量的长度等．[例 4] 已知△ABC 中，∠ACB 是直角，CA＝CB，D 是 CB 的中点，E 是 AB 上一点，且 AE＝2EB，求证：AD⊥CE.[证明] 建立如图所示的直角坐标系，设 A(a,0)，E(x，y)，则 B(0，a)． D 是 BC 的中点，∴D(0，)．又 AE＝2EB，即(x－a，y)＝2(－x，a－y)，∴解得∴OE＝CE＝(，a)． AD＝(0，)－(a,0)＝(－a，)，∴AD·CE＝(...
