高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.1.1 实数指数幂及其运算学案（含解析）新人教B版必修第二册-新人教B版高一必修第二册数学学案VIP专享

4.1.1 实数指数幂及其运算学习目标1.理解 n 次方根及根式的概念.正确运用根式的运算性质进行根式运算.2.学会根式与分数指数幂之间的相互转化,掌握用有理指数幂的运算性质化简求值.自主预习1.有理指数幂(1)一般地,an中的 a 称为 ,n 称为 . (2)一般地,给定大于 1 的正整数 n 和实数 a,如果存在实数 x,使得 ,则 x 称为 a 的 n 次方根. ①0 的任意正整数次方根均为 ,记为 . ② 正数 a 的偶数次方根有两个,它们互为 ,其中正的方根称为 a 的 ,记为 ,负的方根记为 ;负数的偶数次方根在实数范围内 . ③ 任意实数的奇数次方根都有且只有一个,记为 .而且正数的奇数次方根是一个 ,负数的奇数次方根是一个 . (3)当n√a有意义的时候,n√a称为 ,n 称为 ,a 称为 . 一般地,根式具有以下性质:①(n√a)n=a.②n√an={a,当n,为奇数时|a|,当n.为偶数时(4)一般地,如果 n 是正整数,那么:当n√a有意义时,规定a1n= ;当n√a没有意义时,称a1n没有意义. 对于一般的正分数mn ,也可作类似规定,即amn= = .但值得注意的是,这个式子在mn 不是既约分数(即 m,n 有大于 1 的公因数)时可能会有歧义. 负分数指数幂:若 s 是正分数,as有意义且 a≠0 时,规定 a-s= . (5)有理数指数幂的运算法则:asat= ,(as)t= ,(ab)s= . 点拨(1)在(n√a)n中,当 n 为奇数时,a∈R;当 n 为偶数时,a≥0.但在n√an中,a∈R.(2)分数指数幂amn不可以理解为mn 个 a 相乘.2.实数指数幂一般地,当 a>0 且 t 是 时,at是一个确定的实数.因此,当 a>0 时,t 为 时,可以认为实数指数幂 at都有意义. 课堂探究例 1 用根式的形式表示下列各式(x>0).(1)x25;(2)x- 53.要点归纳 在实数指数幂的化简与计算中,分数指数幂的形式在应用上比较方便.而在求函数的定义域时,根式形式较容易观察出各式的取值范围.故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容,要切实掌握.变式训练 1 用根式表示x- 12 y23(x>0,y>0).例 2 计算下列各式的值:(1)3√❑√3103√9; (2)52+❑√3×125-❑√33 .变式训练 2 把下列根式化成分数指数幂的形式,其中 a>0,b>0.(1)5√a6; (2)13√a2; (3)4√b3a2; (4)❑√(-a)6.要点归纳 指数的概念从整数指数扩充到有理数指数后,当 a≤0 时,amn有时有意义,有时无意义.如(-1)13=3√-1=-1,但(-1)12就不是实数了.为了保证在mn 取任何有理数时,amn都有意义,所以规定 a>0.当被开方数中有负数时,幂指数不能随意约分...