2.4 正态分布课堂导学三点剖析一、正态分布的性质【例 1】 正态总体 N（0，1）的概率密度函数是f(x)=2221xe.x∈R.(1)求证：f(x)是偶函数；（2）求 f(x)的最大值；(3)利用指数函数的性质说明 f(x)的增减性.解：（1）对于任意的 x∈R，f(-x)=2)(221xe=2221xe=f(x)∴f(x)是偶函数.(2)令 z=22x,当 x=0 时，z=0，e z=1, e z是关于 z 的增函数，当 x≠0 时，z＞0,e z＞1,∴当 x=0,即 z=0 时，zxee22取得最小值.∴当 x=0 时，f(x)=2221xe取得最大值21.(3)任取 x1＜0,x2＜0,且 x1＜x2,有 x12＞x22,∴221x＜-222x ,∴221xe＜222xe,∴22222121xxee即 f(x1)＜f(x2)它表明当 x＜0 时，f(x)是递增的.同理可得，对于任取的 x1＞0,x2＞0,且 x1＜x2，有 f(x1)＞f(x2),即当 x＞0 时，f(x)是递减的.二、利用正态分布的密度函数求概率【例 2】 设 ξ 服从 N（0，1），求下列各式的值：（1）P（ξ＞2.35);(2)P(ξ＜-1.24);(3)P(|ξ|＜1.54).分析：因为 ξ 服从标准正态分布，所以可借助于标准正态分布表，查出其值，由于表中只列出 x0＞0,P(ξ＜x0)=Φ（x0)的情形，其他情形需用公式：Φ（-x)=1-Φ(x);P(a＜ξ＜b)=Φ（b)-Φ(a);和 P（ξ＞x0)=1-P(ξ＜x0 )进行转化.解析：（1）P(ξ＞2.35)=1-P(ξ＜2.35)=1-Φ(2.35)=1-0.990 6=0.009 4;(2)P(ξ＜-1.24)=Φ(-1.24)=1-Φ(1.24)=1-0.892 5=0.107 5;(3)P(|ξ|＜1.54)=P(-1.54＜ξ＜1.54)=Φ(1.54)-Φ(-1.54)=2Φ(1.54)-1=0.876 4.温馨提示 对于标准正态分布 N（0，1）来说，总体在区间（x1,x2)内取值的概率 P（x1＜ξ＜1x2)=φ(x2)-φ(x1)的几何意义是：介于直线 x=x1和 x=x2间，x 轴上方，总体密度曲线下方的阴影部分面积.三、正态分布的应用【例 3】 从南部某地乘车前往北区火车站搭汽车有两条线路可走，第一条线路穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间（单位为分）服从正态分布 N(50,100)，第二条线路沿环城路走，线路较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布 N（60，16），试计算(1)若有 70 分钟时间可用，应走哪条线路？（2）若有 65 分钟时间可用，又应走哪条线路？解析：（1）有 70 分钟时走第一条线路及时赶到的概率为：P（ξ≤70)=Φ(105070 )=Φ(2)=0.977 2.走第二条线路及时赶到的概率为P（ξ≤70）=Φ(46070 )=Φ(2.5)=0.993 8.所以，应走第二条线路.（2）只有 65 分钟可用时，...
