4 正态分布课堂探究探究一 正态曲线的应用(1)用待定系数法求正态变量概率密度曲线的函数表达式，关键是确定参数 μ 和 σ 的值，并注意函数的形式．(2)当 x＝μ 时，正态分布的概率密度函数取得最大值，即 f(u)＝为最大值，并注意该式在解题中的应用．【典型例题 1】如图，是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．思路分析：给出一个正态曲线就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差以及概率密度函数的解析式．解：从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线 x＝20 对称，最大值是，所以 μ＝20，＝，则 σ＝
所以概率密度函数的解析式是 f(x)＝22041e2 πx，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是 μ＝20，方差是 σ2＝()2＝2
规律总结 利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴 x＝μ，另一是最值，这两点确定以后，相应参数 μ，σ 便确定了，代入 f(x)中便可求出相应的解析式．探究二 正态分布下的概率计算充分利用正态曲线的对称性及面积为 1 的性质求解．(1)熟记正态曲线关于直线 x＝μ 对称，从而在关于 x＝μ 对称的区间上概率相等．(2)p(x＜a)＝1－p(x≥a)；p(x＜μ－a)＝p(x＞μ＋a)．【典型例题 2】设 ξ～N(1,4)，试求：(1)P(－1＜ξ≤3)；(2)P(3＜ξ≤5)；(3)P(ξ≥5)．思路分析：首先确定 μ，σ，然后根据正态曲线的对称性和 P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0
682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0
954 4 进行求解．解： ξ～N(1,4)，∴μ＝1，σ＝2
(1)P(－1＜ξ≤3)＝P(1－2＜ξ≤1＋2)＝P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0
(2) P(3＜ξ≤5)＝P(
