第 4 课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式必备知识·探新知基础知识知识点 1 二倍角的正弦、余弦及正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα(S2α)．(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)．(3)tan2α＝(T2α)．思考 1：(1)所谓的“二倍角”公式，就是角 α 与 2α 之间的转化关系，对吗？(2)公式中的角 α 是任意角吗？提示：(1)不对．对于“二倍角”应该广义的理解，如：8α 是 4α 的二倍角，3α 是 α 的二倍角，α 是的二倍角，是的二倍角，…这里蕴含着换元思想．这就是说“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间关系的．(2)对于公式 S2α，C2α中的角 α 是任意角，但是 T2α中的角 α 要保证 tanα 有意义且分母 1－tan2α≠0.知识点 2 二倍角公式的转换(1)因式分解变换．cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．(2)配方变换：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2.(3)升幂缩角变换．1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.(4)降幂扩角变换．cos2α＝(1＋cos2α)，sin2α＝(1－cos2α)，sinαcosα＝sin2α.思考 2：如何证明“缩角升幂公式”？提示：因为 sin2α＋cos2α＝1，所以 cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1；cos2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.基础自测1．下列说法正确的个数是( A )① 对任意的角总有 sin2θ＝2sinθ.② 不存在角 α，使得 cos2θ＝2cosθ.③ 公式 tan2α＝成立的条件是 α≠kπ＋，k∈Z.④ 对于任意角 α，都有 sin＝2sincos.A．1 B．2 C．3 D．4[解析] ①②③错误，④正确，故选 A．2．已知 sinα＝，cosα＝，则 sin2α 等于( D )A．B．C．D．[解析] sin2α＝2sinαcosα＝.3．已知 cosα＝，则 cos2α 等于( C )A．B．C．－D．[解析] cos2α＝2cos2α－1＝－1＝－.4．(cos－sin)(cos＋sin)的值为( D )A．－B．－C．D．[解析] 原式＝cos2－sin2＝cos＝.5．设 sinα＝2cosα，则 tan2α 的值为__－__.[解析] tanα＝＝2，所以 tan2α＝＝－.关键能力·攻重难题型探究题型一 利用二倍角公式给角求值问题例 1 求下列各式的值：(1)sincos；(2)1－2sin2750°；(3)；(4)－；(5)cos20°cos40°cos80°.[分析] →→→[解析] (1)原式＝＝＝.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝.(3)原式＝tan(2×150°)＝...
