高中数学 第二章§2排序不等式导学案 北师大版选修4-5

§2 排序不等式1．了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题．2．体会运用经典不等式的一般思想方法．1．定理 1设 a，b 和 c，d 都是实数，如果 a≥b，c≥d，那么______≥ad＋bc，此式当且仅当______(或 c＝d)时取“＝”号．【做一做 1】若 0＜a1＜a2,0＜b1＜b2，且 a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中最大的是( )．A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2 C．a1b2＋a2b1 D．2．(1)顺序和、乱序和、逆序和：设实数 a1，a2，a3，b1，b2，b3满足 a1≥a2≥a3，b1≥b2≥b3，则 a1b1＋a2b2＋a3b3≥a1bj1＋a2bj2＋a3bj3≥______________，其中 j1，j2，j3是 1,2,3 的任一排列方式．上式当且仅当 a1＝a2＝a3(或 b1＝b2＝b3)时取“＝”号．通常称 a1b1＋a2b2＋a3b3为__________，a1bj1＋a2bj2＋a3bj3为________，a1b3＋a2b2＋a3b1为________(倒序和)．(2)定理 2(排序不等式)：设有两个有序实数组 a1≥a2≥…≥an及 b1≥b2≥…≥bn，则(顺序和)__________≥(乱序和)__________________≥(逆序和)________________．其中 j1，j2，…，jn是 1,2,3，…，n 的任一排列方式．上式当且仅当 a1＝a2＝…＝an(或b1＝b2＝…＝bn)时取“＝”号．【做一做 2】设 a1，a2，…，an是 n 个互不相等的正整数，求证：＋＋…＋≤a1＋＋＋…＋．答案：1．ac＋bd a＝b【做一做 1】A a1b1＋a2b2＋a1b2＋a2b1＝(a1＋a2)(b1＋b2)＝1，a1b1＋a2b2－a1b2－a2b1＝(a1－a2)(b1－b2)＞0，∴a1b1＋a2b2＞a1b2＋a2b1，且 a1b1＋a2b2＞＞a1b2＋a2b1．又 1＝a1＋a2≥2，∴a1a2≤． 0＜a1＜a2，∴a1a2＜．同理 b1b2＜，∴a1a2＋b1b2＜＋＝，∴a1b1＋a2b2＞＞a1a2＋b1b2，∴a1b1＋a2b2最大．2．(1)a1b3＋a2b2＋a3b1 顺序和 乱序和 逆序和(2)a1b1＋a2b2＋…＋anbn a1bj1＋a2bj2＋…＋anbjn a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1【做一做 2】分析：利用排序不等式来证明．证明：设 b1，b2，…，bn 为 a1，a2，…，an 的一个排列，且 b1＜b2＜…＜bn，因为b1，b2，…，bn是 n 个互不相等的正整数，故 b1≥1，b2≥2，…，bn≥n．又 1＞＞＞…＞，由排序不等式，得 a1＋＋＋…＋≥b1＋＋…＋≥1×1＋2×＋…＋n×＝1＋＋…＋，∴＋＋…＋≤a1＋＋＋…＋．1．对排序不等式的证明的理解剖析：对排序不等式的证明中，用到了“探究—猜想—检验—证明”的思维方法，这是探索新知识、新问题常用到的基本方法，对于数组涉及的“排序”及“乘...