2.3 等比数列教材解读（1）一、等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示．解读：1．“从第 2 项起”是因为首项没有“前一项”；2 ． 公 比等 于 从 第 二 项 起 ， 每 一 项 与 它 前 一 项 的 比 ， 即或，分子分母的顺序不能颠倒；3．由等比数列的定义可得，等比数列的每一项都不能为 0，公比也不能为 0，即等比数列排斥 0；4．如果一个数列不是从第 2 项起而是从第 3 项或第 4 项起每一项与它的前一项的比等于同一常数，则此数列不是等比数列．这时可以说此数列从第 2 项起或从第 3 项起是一个等比数列；5．根据等比数列的定义，我们可以判定一个数列是否是等比数列，即只需看或是否为一个与无关的常数．在用判定时，条件是，不要误认为无法判断，其实当时，，所以这种判定方法也是严谨的．二、等比中项定义：如果在与中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做与的等比中项．解读：1．满足，即，解得，因此，只有两个同号的数才有等比中项；2．由等比中项的定义可知一个等比数列从第 2 项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前后两项的等比中项，因此，利用等比中项的定义也能证明一个数列是否为等比数列，即证明．三、等比数列的通项公式首项为，公比为的等比数列的通项公式为（其中， 与均不为０）．解读：1．已知等比数列的首项和公比，可以求得数列中任意一项；2．通项公式反映了之间的关系；3．在已知等比数列中任意一项及公比的前提下，使用也可求得等比数列中任意一项．四、等比数列与指数函数的关系1等比数列的通项公式a 可以整理为，当，且时，是一个指数函数，而是一个不为 0 的常数与指数函数的积，因此等比数列的图象是函数的图象上一群孤立的点．同样也可以把等比数列的通项公式视为定义域为或它的真子集上的一个类指数函数．五、考查方式1．考查定义：利用等比数列或等比中项的定义证明一个数列是等比数列．2．考查性质：利用等比数列的性质求解或简化计算过程．3．计算问题：（1）求中的量，可根据通项公式及前项和公式列方程（组）求解，求解原则为“知三求二”；（2）与等差数列的综合问题；（3）递推数列求通项公式问题转化为等比数列求通项公式问题；（4）应用问题．例 在等比数列中，，且，，则的值为_________．解析：设等比数列的公比为．途径一...
