由高考题看导数在实际问题中的应用学习对“终身发展必备的基础知识和技能，了解这些知识与技能在生活、生产中的应用，关注科学技术的现状及发展趋势”是高中新课标所规定的课程总目标之一.为此高考数学逐步加大对数学应用的考查,试题背景越来越贴近生活和生产实际.高中数学中引进了导数，这显示了对简单化的追求，又拓宽了数学的思维途径．而以函数为背景的实际问题大量存在，给高考数学提供了广阔的空间．导数是研究函数性质以及解决实际问题中的最大、最小的强有力的工具，也是数学高考命题的一个新热点．例 1 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 （升）关于行驶速度 （千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距 100 千米． （I）当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？分析：本题应将耗油量表示为的函数，对该函数求导，从而求得最小值.解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（升）．因此当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油 17.5 升．（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升， 依题意得 令得 当时，是减函数； 当时，是增函数，∴当时，取到极小值．因为在上只有一个极值，所以它是最小值． 则当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升．点评：本题难度不大，但颇具示范性．首先是将实际问题抽象为函数模型，进而用导数研究函数的性质和极值，其解题思路简洁，易于操作． 例２如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此 钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积的最大值．分析：先建立直角坐标系，设出椭圆的方程，表示出梯形面积的函数关系，利用导数的有关知识解决问题.用心 爱心 专心4rCDAB2r解：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为．点的纵坐标满足方程，解得. ，其定义域为．（II）记，则．令，得．因为当时，；当时，，所以是的最大值．因此，当时，也取得最大值，最大值为．即梯形面积的最大值为．点评：本题主要考查解析几何知识、函数知识以及导数在实际问题中的应用.其解题思路是将已知的...
