巧用梅涅劳斯定理求解向量的线性相关系数 河南平顶山市第三高级中学 金小欣 467000一、梅涅劳斯（Menelaus）定理简介：如果一直线顺次与三角形 ABC 的三边 AB、BC、CA 或其延长线交于 M、N、K 三点，则：。证明： 过顶点 B 作 AC 的平行线与截线交于 E，则有： ， ，∴ 对该定理的几点说明：①证明的方法：过其中一个顶点作其对边的平行线与截线相交，利用“平行线截线段成比例定理”或相似 Δ 性质，将其中的两个比例式等价转化。②定理的实质：三个比例式的乘积等于 1，每一个比例式的三个字母是共线的两个顶点和一个分点；其结构特征为： ，呈现“首尾相接”；整体看，从某一个顶点出发，最后又回到该顶点。③该定理常与“塞瓦定理”结合使用。二、梅涅劳斯定理的一个应用例子题目：在△OAB 的边 OA、OB 上分别取点 M、N，使||∶||=1∶3，||∶||=1∶4，设线段 AN与 BM 交于点 P，记= ，=，用 ，表示向量.先给出高中常规解法（待定系数法）如下：解法一：∵ B、P、M 共线∴ 记=s∴ --------①同理，记 ，得： =--------②用心 爱心 专心BKNMACEMABNPO∵ ,不共线∴ 由①、②得解之得：∴ 上述解法的基本思想是：先设法求出点 P 分 AN、BM 的比，理论依据：一个是教材例题的结论（可作为定理直接使用），一个就是平面向量基本定理。利用该定理中两个系数的唯一性，得到关于 s，t 的方程。由于梅涅劳斯定理、塞瓦定理与比例线段、定比分点有着密切联系，故尝试本题能否用这两个定理来解决。解法二：ΔOAN 被直线 MPB 所截，由梅涅劳斯定理，得： 即 ，∴ ∴ 或者，ΔOBM 被直线 NPA 所截，得：∴可见，只要选对了被截的三角形，用梅涅劳斯定理只列一个式子就可以了，非常便利。 三、 用梅涅劳斯定理求解向量线性相关系数的要点总结以上例为例，经认真思考和实验，其规律性体现为：欲求 P 分之比，则考察 为一边的三角形被直线所截。若去掉线段 AB，则截线显然为 四、 变式练习（1） 题目条件不变，若延长 OP 与 AB 交于点 D，求向量与的线性关系。分析：由“塞瓦定理”得： ，即：用心 爱心 专心ABMNPODABMNPO ,∴ ,下面只要求出 P 分 OD 的比即可。由三之要点，考察 POD 所在 ΔOAD 被直线所截，由梅氏定理，得： ，即： ，∴ .从而，（2）题目条件不变，求用的表示式。（ 答案： ）可见，用梅涅劳斯定理可快速得到向量线性相关的相关系数，尤其对于选择、填空题，极大提高了解题速度和质量。用心 爱心 专心
