空间向量及运算一.知识回顾:1．空间向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵ 向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶ 空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下运算律：⑴加法交换律：⑵ 加法结合律：⑶ 数乘分配律：3 共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．4．共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ.推论：如果 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点 O，点 P 在直线 上的充要条件是存在实数 t 满足等式 ．其中向量叫做直线 的方向向量.5．向量与平面平行：已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的6．共面向量定理：如 果 两 个 向 量不 共 线 ，与 向 量共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数使推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有 ①① 式叫做平面的向量表达式7 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使8 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的 夹 角 ， 记 作； 且 规 定， 显 然 有； 若，则称与互相垂直，记作：.9．向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：.10．向量的数量积： ．已知向量和轴 ，是 上与 同方向的单位向量，作点在 上的射影，作点在 上的射影，则叫做向量在轴 上或在上的正射影. 可以证明的长度．11．空间向量数量积的性质： （1）．（2）．（3）．12．空间向量数量积运算律：（ 1 ）． （ 2 ）（ 交 换 律 ） （ 3 ）（分配律）．二.基本训练:1.（2002 上海春，13）若 a、b、c 为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是（ D ）A.（a+b）+c=a+（b+c） B.（a+b）·c=a·...
