数 列 的 概 念知识概要：1．数列：按一定次序排列的一列数叫做数列．（1）数列的一般形式可以写成简记，其中是数列的第项；（2）数列可看成是定义域为或的子集（子集中的自然数必须连续）的特殊函数，研究数列可联系函数的相关知识进行．2．通项公式：如果数列的第项与项数之间的函数关系可以用一个公式表示来表达，那么这个公式就叫做通项公式．记为，特别说明：并非每一个数列都可以写出公式，通项公式一般是不唯一的．3．数列的前项和：数列的前项和用表示，，与通项的基本关系是 ……重要公式（求通项公式）4．数列的分类：（1）按项分类：有穷数列（项数有限）；无穷数列（项数无项）；（2）按的增减分类：（i）递增数列：，总有；（ii）递减数列：，总有；（iii）摆动数列：，有，也有，例如；（iv）常数数列：，；（v）有界数列：存在正整数使；（vi）无界数列：对任意正整数总存在使．5．递推数列：如果已知数列的前一项（或前几项），且任意一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，则这个数列叫递推数列，这个公式叫这个数列的递推公式．递推公式是给出数列的一种重要方式．例题解析：例 1 已知数列的通项公式是．（1）数列中有多少项是负数？（2）为何值时，有最小值？并求出最小值．分析：数列的通项公式可看成，利用二次函数用心 爱心 专心1的性质解决问题．解：（1）由，解得，，数列有两项是负数； （2），可知对称轴时，有最小值，为．小结：数列的项与项数之间构成特殊的函数关系，用函数的有关知识解决问题时，要考虑定义域为正整数这一约束条件．例 2 在数列中， ，求．分析：将递推关系式变形观察，解：原式可化为，所以．相加得，所以．小结：求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列史，常用迭加、迭代、迭乘，还应注意变形式是否是等差（或等比）数列，注意观察由递推公式写出的数列的前几项的特征，以便猜想归纳数列的通项公式．例 3 有一数列，，，写出这个数列的前 4 项，并根据前 4 项观察规律，写出该数列的一个通项公式．解：由及递推公式，有，， ，用心 爱心 专心2观察规律：形式，其中与的关系可由得出，而比小1，所以 ．小结：从特殊的事例，通过分析、猜想、归纳、抽象总结出一般规律，再进行证明，这种探索问题的方法在解决数列问题中常用到．例 4 已知数列的通项公式，且，求．解：由题意得 解得 所以， 则．例 5 已知的前项和满足，求数列的通项公式．...
