个性化的“数学证明”——分数乘分数教学片断与反思【教学片断】问题：王老师的助动车每分钟行 1/2 千米，1/4 分钟能行多少千米
（学生猜测认为可以这样算：1/2×1/4=1×1/2×4=1/8）师：你可以证明这样做的合理性吗
（学生探究证明方法）生 1：我用小数乘法进行了验算，1/2×1/4=0
125=1/8，为了证明这不是巧合，我还用其它的分数相乘也证明了这样算的结果是对的，所以，我认为分数乘分数，可以用分子乘分子、分母乘分母的计算方法计算
生 2：（边画线段图边讲解） 因为 1 分钟行 1/2 千米，那么 1/4 分钟行 1/2 千米不到，只行了 1/2 千米的 1/4，也就是又把 1/2 千米平均分四份，取其中一份，而这时的 1 千米已平均分成了（2×4）份，这一份就是 1/8 了
所以，这样算是合理的
生 3：我同意这位同学的观点，如果行 3/4 分钟的话，也是 1/2 千米不到（并在线段图上演示），只到 1/2 千米的 3/4 的地方，是 3 个 1/2×4 等于 1×3/2×4=3/8 千米
生4 ： 老 师 ， 我 是 用 已 学 的 一 些 计 算 法 则 推 导 的 ：1/2×1/4=1÷2×1÷4=1×1÷（2×4）=1×1/2×4=1/8，可以说明我们猜测的方法是正确的
生5：我也是推导的，不过方法不一样：1/2×1/4= （1/2×2 ）× （1/4×4）÷ （2×4）=1×1/2×4=1/8
师：（看到学生有点茫然）你能解释一下吗
生 5：很简单，根据积不变规律，先扩大 8 倍，要使结果不变，再缩小 8 倍就行了
（学生恍然大悟，并为这位同学看似简单却意想不到的回答激烈鼓掌
）师：我想不到有这么多的证明方法，可以用验算结果来证明，也可以用画图操作并说理来证明，更可以利用已学的一些知识来推导，太棒了，你们给我上了一课
